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Description:
Die Theorie zur Analyse von Zeitreihen oder stochastischen Prozessen ist teilweise funktionalanalytisch geprägt. Dies gilt z. B. für Arbeiten über reproduzierende Kern-Hilbert-Räume, die man Prozessen zuordnet. Ähnlich geprägt ist der Aufbau der Karhunen-Loève-Zerlegung, die Spektraltheorie stationärer Prozesse und das Konzept der orthogonalen Projektion als Prädiktion. Die vorliegende Arbeit vertieft diese Theorie, indem sie moderne Methoden der Funktionalanalysis auf das Gebiet der stochastischen Prozesse überträgt und neue bzw. erweiterte Ergebnisse erzielt. Die obigen Themen sind nur eine Auswahl aus dem Feld der Zeitreihenanalyse, skizzieren aber die Schnittfläche zwischen Prozesstheorie und Analysis, auf welcher sich die vorliegende Arbeit bewegt. Die Struktur stationärer Prozesse erlaubt den erfolgreichen Einsatz analytischer Werkzeuge. Als Beispiel mag die stationäre Vorhersagetheorie dienen, deren Anfang durch Wiener und Kolmogorov geprägt wurde und die von abstrakter, (Fourier-)analytischer Natur ist. Verallgemeinerungen zur Herleitung analoger Resultate ohne Stationaritätsvoraussetzungen werden bis heute gesucht und bedürfen evtl. alternativer Zeitbereichsmethoden, die allein über den Indexbereich (Zeit) des Prozesses beschrieben werden können. Ähnliches zeigt sich auf dem Feld der Darstellungstheorie stochastischer Prozesse, dessen Ursprung Karhunen und Loève zugeschrieben werden kann. Die bisherige Theorie fußt meist auf elementaren Isometrien zwischen dem Prozessraum und einem Raum von quadratisch integrierbaren Funktionen - Spektralbereich genannt. Konkreter findet man die Ausführungen für stetige Prozesse auf kompaktem Intervall, wo sich die Verbindung zu Eigenvektorbasen von Integraloperatoren eröffnet (Mercers Theorem). Statt den Einfluss dieser Spektraltheorie auf die Darstellung von Prozessen auszuweiten, hielt man an der Abzählbarkeit der Eigenvektorbasis und der resultierenden Reihenentwicklung des Prozesses fest. Vergleichbares findet sich zur Beziehung zwischen Prozessen und den ...