Beschreibung:
Focus is on efficient estimation of a dynamic space-time panel data model that incorporates spatial dependence, temporal dependence, as well as space-time covariance and can be implemented in large N and T situations, where N is the number of spatial units and T the number of time periods. Quasi-maximum likelihood (QML) estimation in cases involving large N and T poses computational challenges because optimizing the (log) likelihood requires: 1) evaluating the log-determinant of an NT x NT matrix that appears in the likelihood, 2) imposing stability restrictions on parameters reflecting space-time dynamics, as well as 3) simulations to produce an empirical distribution of the partial derivatives used to interpret model estimates that require numerous inversions of large matrices. We set forth a Markov Chain Monte Carlo (MCMC) estimation procedure capable of handling large problems, which we illustrate using a sample of T = 487 daily fuel prices for N = 12, 435 German gas stations, resulting in N x T over 6 million. The procedure produces estimates equivalent to those from QML and has the additional advantage of producing a Monte Carlo integrated estimate of the log-marginal likelihood, useful for purposes of model comparison. Our MCMC estimation procedure uses: 1) a Taylor series approximation to the logdeterminant based on traces of matrix products calculated prior to MCMC sampling, 2) block sampling of the spatiotemporal parameters, which allows imposition of the stability restrictions, and 3) a Metropolis-Hastings guided Monte Carlo integration of the logmarginal likelihood. We also provide an efficient approach to simulations needed to produce the empirical distribution of the partial derivatives for model interpretation.
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der effizienten Schätzung eines dynamischen Raum-Zeit-Panel Datenmodells, welches sowohl die räumliche Abhängigkeit, die zeitliche Abhängigkeit, als auch die Raum-Zeit Kovarianz beinhaltet. Dieses Modell kann unter anderem in großen N- und T- Modelkonstellationen eingesetzt werden, wobei N die Zahl von Raumeinheiten und T die Anzahl der Zeiträume beziffert. Quasi-maximum likelihood (QML) Schätzungen in Fällen mit großen N- und T-Werten stellen eine rechentechnische Herausforderung dar, da folgende Schritte zur Optimierung der (Log) -Wahrscheinlichkeit erforderlich sind: 1) Auswerten der Log-Determinante einer NT x NT-Matrix, welche mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auftritt, 2) Festlegung von Stabilitätsbeschränkungen für Parameter, die die Raum-Zeit-Dynamik widerspiegeln, sowie 3) Modelssimulationen zur Erzeugung einer empirischen Verteilung von Teilderivaten, die herangezogen werden um Modellschätzungen zu interpretieren, was wiederum viele Matrixinversionen erfordert. Wir haben ein Markov Chain Monte Carlo (MCMC) Schätzverfahren entwickelt, welches es möglich macht, komplexe Daten zu analysieren. Dies verdeutlichen wir anhand einer Stichprobe von T = 487 täglichen Kraftstoffpreisen für N = 12.435 deutsche Tankstellen, was eine N x T Matrix von über 6 Millionen Werten ergibt. Das entwickelte Verfahren erstellt Schätzungen, die gleichwertig dem QML Verfahren sind, jedoch den zusätzlichen Vorteil einer integrierten Monte-Carlo-Schätzung der marginalen log-Wahrscheinlichkeit erbringen. Letzteres kann für Modelvergleiche nützlich sein. Unser MCMC-Schätzverfahren verwendet folgende Methoden: 1) eine Taylor-Reihenannäherung an die log-Determinante, basierend auf Spuren von Matrixprodukten, welche vor der MCMC-Stichprobe berechnet wurden, 2) Blockstichproben der raum-zeitlichen Parameter, die es erlauben Stabilitätseinschränkungen aufzuerlegen, und 3) eine auf Metropolis-Hastings beruhende Monte-Carlo-Integration der log-marginalen Wahrscheinlichkeit. Wir bieten zudem einen effizienten Ansatz für Simulationen, die erforderlich sind, um die empirische Verteilung der partiellen Derivate für die Modellinterpretation zu erzeugen.