University thesis:
Dissertation, Universität Oldenburg, 2020
Footnote:
Text auf Englisch, Zusammenfassung auf Deutsch
Description:
Diese Dissertation ist der Entwicklung von Methoden zur Approximation von Kovarianzfunktionen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen gewidmet, wenn diese Unsicherheiten unterworfen sind. Wir entwickeln Werkzeuge für adaptive Fehlerkontrolle und automatische Verfeinerungsprozeduren für die deterministischen zweiten Momentgleichungen eines elliptischen Modellproblems im ein- und zwei-dimensionalen Setting basierend auf einer L2-Repräsentation des Residuums, einem hierarchischen Schätzer und einem Schätzer basierend auf einer Mittelungsprozedur. Nur der Mittelungs-Schätzer ist asymptotisch exakt, wogegen residuale und hierarchische Schätzer zuverlässig sind, aber nur schwach effizient. Als andere Herangehensweise wählen wir die Monte Carlo und multilevel Monte Carlo Methoden. Die Approximation in Tensorprodukten von Hilbert-Räumen wird diskutiert und analysiert. Das letzte Kapitel bietet einen Vergleich der Methoden im Hinblick auf verschiedene Voraussetzungen, Vorteile und Nachteile.
The present dissertation is dedicated to the development of methods for the approximation of covariance functions of elliptic partial differential equations when these are subject to uncertainty. We develop tools for adaptive error control and automatic refinement procedures for the deterministic second moment equations of an elliptic model problem in the one- and two-dimensional setting based on an L2-representation of the residual, a hierarchical estimator, and an estimator based on an averaging procedure. Only the averaging estimator is asymptotically exact, whereas the residual and hierarchical estimators are shown to be reliable, but only weakly efficient. As another approach we choose the Monte Carlo and multilevel Monte Carlo methods. The approximation in tensor products of Hilbert spaces is discussed and analyzed. The last chapter offers a comparison of the methods considering the different requirements, advantages and disadvantages.