University thesis:
Dissertation, Albert-Ludwigs-Universität Freiburg im Breisgau, 2016
Footnote:
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Description:
Abstract: In the thesis at hand, we investigate two important classes of integrable systems, namely Hitchin systems and Calabi-Yau integrable systems. The former is Lie-theoretic in nature and requires, amongst others, a complex semisimple Lie group for its construction. The main input for the latter comes from complex-(algebraic) geometry, more precisely families of (non-)compact Calabi-Yau threefolds. Despite their different origins, Diaconescu, Donagi and Pantev showed in 2007 that a Hitchin system, which is constructed from a complex semisimple Lie group whose Dynkin diagram is simply-laced (ADE), is isomorphic to a non-compact Calabi-Yau integrable system over a good locus in the Hitchin base. We extend their result to the cases where the Dynkin diagrams are non-simply-laced (BCFG) by using graph automorphisms of simply-laced Dynkin diagrams. This requires a detailed analysis of some aspects of singularities of type BCFG as introduced by Slodowy. To obtain the global result over a good locus in the Hitchin base we employ Morihiko Saito’s theory of (mixed) Hodge modules. Finally, we pursue another natural approach to the BCFG-cases called monodromy along the fibers which produces further families of non-compact Calabi-Yau threefolds. We give evidence that these Calabi-Yau threefolds give rise to integrable systems that are not Hitchin systems
Abstract: Die vorliegend Arbeit beschäftigt sich mit zwei wichtigen Klassen integrabler Systeme, zum einen den Hitchin-Systemen und zum anderen den Calabi-Yau integrablen Systemen. Die Ausgangsdaten zur Konstruktion von Hitchin-Systemen bestehen unter anderem aus einer komplexen halbeinfachen Liegruppe und sind somit Lie-theoretisch. Hingegen werden Calabi-Yau integrable Systeme aus Familien (nicht-)kompakter Calabi-Yau Dreifaltigkeiten konstruiert. Obwohl die Ausgangsdaten unterschiedlicher Natur sind, konnten Diaconescu, Donagi und Pantev 2007 zeigen, dass ein Hitchin-System, welches von einer komplexen halbeinfachen Liegruppe mit einfach geschnürtem Dynkin-Diagramm (ADE) konstruiert wird, isomorph zu einem nicht-kompakten Calabi-Yau integrablen System über einem guten Lokus in der Hitchin-Basis ist. In dieser Arbeit erweitern wir obiges Resultat auf die Fälle, in denen die Dynkin-Diagramme nicht einfach-geschnürt (BCFG) sind, indem wir Graphautomorphismen von einfach geschnürten Dynkin-Diagrammen benutzen.Dazu müssen wir einige Aspekte von BCFG-Singularitäten nach Slodowy detailliert untersuchen. Um das globale Resultat über einem guten Lokus in der Hitchin-Basis zu erhalten, verwenden wir Morihiko Saito’s Theorie von (gemischten) Hodge-Moduln. Schließlich untersuchen wir einen weiteren natürlichen Zugang, der Mondromie entlang der Fasern genannt wird und weitere Familien nicht-kompakter Calabi-Yau Dreifaltigkeiten liefert. Unsere Resultate diesbezüglich legen nahe, dass diese Familien integrable Systeme geben, die keine Hitchin-Systeme sind