Footnote:
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Description:
In this dissertation we consider complex, projective hypersurfaces with many isolated singularities. The leading questions concern the maximal number of prescribed singularities of such hypersurfaces in a given linear system, and geometric properties of the equisingular stratum. In the first part a systematic introduction to the theory of equianalytic families of hypersurfaces is given. Furthermore, the patchworking method for constructing hypersurfaces with singularities of prescribed types is described. In the second part we present new existence results for hypersurfaces with many singularities. Using the patchworking method, we show asymptotically proper results for hypersurfaces in P^n with singularities of corank less than two. In the case of simple singularities, the results are even asymptotically optimal. These statements improve all previous general existence results for hypersurfaces with these singularities. Moreover, the results are also transferred to hypersurfaces defined over the real numbers. The last part of the dissertation deals with the Castelnuovo function for studying the cohomology of ideal sheaves of zero-dimensional schemes. Parts of the theory of this function for schemes in P^2 are generalized to the case of schemes on general surfaces in P^3. As an application we show an H^1-vanishing theorem for such schemes. ; In dieser Dissertation werden komplexe, projektive Hyperflächen mit vielen isolierten Singularitäten untersucht. Die zentralen Fragen betreffen die maximale Anzahl von vorgegebenen Singularitäten, die eine solche Hyperfläche in einem fixierten Linearsystem haben kann, sowie geometrische Eigenschaften des Äquisingularitätsstratums. Im ersten Teil der Arbeit wird eine systematische Einführung in das Studium von äquianalytischen Familien von Hyperflächen gegeben sowie die Patchworking Methode zur Konstruktion von Hyperflächen mit vorgegebenen Singularitäten beschrieben. Im zweiten Teil werden Existenzresultate für Hyperflächen mit vielen Singularitäten präsentiert. Mit Hilfe der ...