Published in:Jülich : Kernforschungsanlage Jülich, Verlag, Berichte der Kernforschungsanlage Jülich 442, 23 p. (1966).
Language:
German
Origination:
Footnote:
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Description:
Im folgenden soll eine Verallgemeinerung der Abelschen Integralgleichung (1.1) f(x) = $\int^{x}_{0} \frac{g(t)}{\sqrt{x-t}}dt$, die sich unter Benutzung der Definition der Integration mit nichtganzzahliger Ordnung $I^{\alpha}h(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int^{x}_{0}(x-t)^{\alpha-1} h(t) dt //$\alpha$ > 0$ (vergl.(4)) in der Form $\Gamma(\frac{1}{2}) f(x) = \Gamma^{\frac{1}{2}} g(x)$ schreiben läßt, behandelt werden. Wie bekannt, läßt sich die Gleichung 1.1 neben der Methode der Laplace-Transformation unter Benutzung der Tatsache, daß $\frac{1}{\pi} \int^{y}_{x} \frac{dt}{\sqrt{t-x}\sqrt{y-t}}=1$ gilt, lösen, indem man beide Seiten von 1.1 mit $\frac{1}{\sqrt{y-x}}$ multipliziert und anschließend über (0,y) bezgl. x integriert. Nach Integralvertauschung folgt $\int^{y}_{0} \frac{f(x)}{\sqrt{y-x}} dx = \int^{y}_{0} g(t) (\int^{y}_{t} \frac{dx}{\sqrt{y-x}\sqrt{x-t}}) dt = \pi \int^{y}_{0} g(t) dt$ Nachfolgende Differentiation nach y ergibt also die Lösung $g(y)=\frac{1}{\pi} \frac{d}{dy}\int^{y}_{0} \frac{f(x)}{\sqrt{y-x}} dx$. In analoger Weise läßt sich die Lösung der Weylschen Integralgleichung $f(x) = \int^{\infty}_{x} \frac{g(t)}{\sqrt{t-x}} dt$ angeben, wenn man mit $\frac{1}{\sqrt{x-y}}$ multipliziert und die Integration bzgl. x über (y, $\infty]$) erstreckt. Nach Integralvertauschung erhält man nämlich $\int^{\infty}_{y} \frac{f(x)}{\sqrt{x-y}} dx = \int^{\infty}_{y} g(t) (\int^{t}_{y} \frac{dx}{\sqrt{t-x}\sqrt{x-y}}) dt.$ Dieses Verfahren läßt sich auch dann anwenden, wenn der Kern der Gleichung 1.1 die Gestalt $x^{\nu}(x^{\mu}-t^{\mu})^{-\alpha}$ mit 0<$\alpha$<1 ; 0$\le \nu \le \mu-1$ ; $\mu \geq 1$ hat denn es gilt $\mu \cdot \frac{sin\alpha \pi}{\pi} \int^{y}_{t} \frac{x^{\nu}}{(x^{\mu}-t^{\mu})^{\alpha}}\cdot \frac{x^{\mu-\nu-1}}{(y^{\mu}-x^{\mu})} dx = \frac{sin\alpha \pi}{\pi} \int^{y^{\mu}}_{t^{\mu}}$$ \frac{du}{(u-t^{\mu})^{\alpha} (y^{\mu}-u)^{1-\alpha}} = 1$ [.]