Romani, Giulio
[Author]
;
Aix-Marseille
[Contributor];
Università degli studi (Milan, Italie). Dipartimento di Matematica Federigo Enriques
[Contributor];
Hamel, François
[Contributor];
Ruf, Bernhard
[Contributor];
Parini, Enea
[Contributor]
Positivity and qualitative properties of solutions of fourth-order elliptic equations ; Positivité et propriétés qualitatives des solutions d'équations elliptiques du quatrième ordre
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Media type:
E-Book;
Electronic Thesis;
Text
Title:
Positivity and qualitative properties of solutions of fourth-order elliptic equations ; Positivité et propriétés qualitatives des solutions d'équations elliptiques du quatrième ordre
Footnote:
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Description:
Cette thèse concerne l'étude de certains problèmes elliptiques d'ordre 4 et, notamment, des propriétés qualitatives des solutions. Ces problèmes apparaissent dans de nombreux domaines, par exemple dans la théorie des plaques et dans la géométrie conforme, et, comparés à leurs homologues du deuxième ordre, ils présentent des difficultés intrinsèques, surtout liées à l'absence de principe de maximum. Premièrement on étudie la positivité des solutions dans le cas des conditions au bord de Steklov, qui sont intermédiaires entre les conditions de Dirichlet et de Navier. Elles apparaissent naturellement dans l'étude des minimiseurs de la fonctionnelle de Kirchhoff-Love, qui représente l'énergie d'une plaque encastrée soumise à l'action d'une force extérieure, en fonction d'un paramètre σ. On trouve des conditions suffisantes sur le domaine pour que les minimiseurs de la fonctionnelle soient positifs. De plus, pour ces domaines on étudie une version généralisée de la fonctionnelle. En utilisant des techniques variationnelles, on examine l'existence et la positivité des états fondamentaux, ainsi que leur comportement asymptotique pour les valeurs pertinentes de σ. Dans la deuxième partie de la thèse on établit des estimations uniformes a priori pour des problèmes semi linéaires du quatrième ordre dans ℝ⁴, et donc avec des non linéarités exponentielles. On considère des conditions au bord soit de Dirichlet soit de Navier et on suppose que les non linéarités sont positives et sous-critiques. Nos arguments combinent des estimations uniformes près du bord et une analyse de blow-up. Enfin, en utilisant la théorie du degré, on obtient l'existence d'une solution. ; This thesis concerns the study of fourth-order elliptic boundary value problems and, in particular, qualitative properties of solutions. Such problems arise in various fields, from plate theory to conformal geometry and, compared to their second-order counterparts, they present intrinsic difficulties, mainly due to the lack of the maximum principle. In the first ...