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Media type:
Text;
Still Image;
Electronic Thesis;
E-Book
Title:
Les inégalités d'énergie locales dans la théorie des équations de Navier-Stokes ; Local energy inequality in the theory of Navier-Stokes equation
Footnote:
Diese Datenquelle enthält auch Bestandsnachweise, die nicht zu einem Volltext führen.
Description:
Cette thèse est consacrée au rôle des inégalités d’énergie locales dans la théorie de la régularité partielle des solutions faibles des équations de Navier-Stokes dans le sens du Théorème de Caffarelli, Kohn et Nirenberg. Nous distinguons trois parties. La première partie de la thèse traite essentiellement l’annonce faite par le mathématicien coréen Choe à Waseda en 2013 d’une nouvelle inégalité d’énergie locale qui s’applique à toute solution faible des équations de Navier-Stokes, sans aucune hypothèse sur la pression, et qui permettait d’étendre les résultats de régularité partielle de Caffarelli, Kohn et Nirenberg à toutes les solutions faibles et pas seulement aux solutions adaptées. Une étude de la preuve de l’inégalité de Choe nous permettait de conclure que cette preuve était fausse a priori pour le cas d’une solution générale, et le théorème principal de Choe (qui était sensé nous donner une régularité en temps et en espace en dehors d’un ensemble de singularité extrêmement petit) était contredit par un contre exemple de Serrin qui liait la régularité en temps à des hypothèses sur la pression. Dans cette première partie on a rédigé une preuve rigoureuse de l’inégalité introduite par Choe en rajoutant des hypothèses supplémentaires qu’il fallait introduire pour la démontrer. Néanmoins,cette nouvelle inégalité d’énergie (qui ne fait pas intervenir la pression) nous ne sert pas à prolonger les affirmations de Choe, mais on a pu identifier une nouvelle variable, inspirée de la preuve de Choe, qui nous a permit d’introduire notre résultat principal. En effet, la deuxième partie de la thèse est consacrée à étudier profondément la nouvelle variable suggérée par une partie du travail de Choe. On a pu assimiler une nouvelle variable ~v liée au rotationnel de la solution ~u et en étudiant ~v, à l’aide d’un mélange de la théorie de Serrin et celle de Caffarelli, Kohn et Nirenberg on a obtenu un résultat de régularité partielle qui ne s’applique pas à toute solution faible (contrairement à l’énoncé de Choe) mais à ...