Footnote:
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Description:
Cette thèse comporte deux parties, axées sur des aspects différents de la géométrie lorentzienne. La première partie porte sur les groupes d’isométries de surfaces lorentziennes globalement hyperboliques spatialement compactes, particulièrement lorsque le groupe exhibe une dynamique non triviale (action non propre). Le groupe d'isométries agit naturellement sur le cercle par difféomorphismes, et les résultats principaux portent sur la classification de ces représentations. Sous une hypothèse sur le bord conforme, on obtient une conjugaison par homéomorphisme avec l'action projective d'un sous-groupe de PSL(2,R) ou de l'un de ses revêtements finis. La différentiabilité de la conjuguante est étudiée, avec des résultats qui garantissent une conjugaison dans le groupe de difféomorphismes du cercle dans certains cas. On donne également des contre-exemples à l'existence d'une conjugaison différentiable, y compris pour des groupes ayant une dynamique riche. Ces constructions s'appuient sur l'étude de flots hyperboliques en dimension trois. Sans l'hypothèse sur le bord conforme, on obtient une semi conjugaison et un isomorphisme de groupes. On construit également des exemples pour lesquels il n'existe pas de conjugaison topologique. La seconde partie de cette thèse étudie un espace-temps vu comme un système dynamique multi-valuée : à un point on associe sont futur causal. Cette approche, déjà présente dans les travaux de Fathi et Siconolfi, permet de concrétiser le lien entre fonctions de Lyapunov en systèmes dynamiques et fonctions temps. Le résultat principal est une version lorentzienne du Théorème de Conley : on peut définir l'ensemble récurrent par chaînes d'un espace-temps, et il existe une fonction continue croissante le long de toute courbe causale orientée vers le futur, strictement croissante si le point de départ de la courbe n'est pas dans l'ensemble récurrent par chaînes. Ces techniques s'adaptent aussi dans un espace-temps stablement causal, ce qui permet de donner une nouvelle preuve d'une partie du ...