Footnote:
Diese Datenquelle enthält auch Bestandsnachweise, die nicht zu einem Volltext führen.
Description:
Ces dernières années, de nouveaux matériaux bidimensionnels aux propriétés surprenantes ont été découverts, le plus connu étant le graphène. Dans ces matériaux, les électrons du niveau de Fermi ont une masse apparente nulle, et peuvent être décrits par l’équation de Dirac sans masse. Un tel phénomène apparaît dans des situations très générales, pour les matériaux bidimensionnels ayant une structure périodique en « nid d’abeille ». De plus, la prise en compte d’interactions mène à des équations de Dirac non linéaires. Ces équations apparaissent également dans l’étude des paquets d’ondes lumineuses dans certaines fibres optiques. Le but de cette thèse est d’étudier l’existence et la stabilité de solutions stationnaires de ces équations avec termes non linéaires sous-critiques et critiques, et de montrer qu’ils sont la limite de solutions stationnaires de l’équation de Schrödinger non linéaire à potentiel périodique dans certains régimes de paramètres. Du point de vue mathématique, on devra résoudre les équations d’Euler-Lagrange de fonctionnelles d'énergie fortement indéfinies faisant intervenir l’opérateur de Dirac. Il s’agira en particulier d’étudier le cas des non-linéarités avec exposant critique, encore mal comprises pour ce type de fonctionnelle, et qui apparaissent naturellement en optique non linéaire. Les résultats de cette thèse pourraient avoir un impact important en physique, en particulier en physique du solide et optique non linéaire. ; Recently, new two-dimensional materials possessing unique properties have been discovered, the most famous being the graphene. In this materials, electrons at the Fermi level behave as massless particles and can be described by the massless Dirac equation. This phenomenon is quite general, and it is a common features of "honeycomb" periodic structures. Moreover, taking into account interaction leads to non-linear Dirac equations, which also appear in the description of light propagation in particular waveguides. The aim of the thesis is to study existence and ...