Footnote:
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Description:
Dans ce travail, nous étudions la répartition des chiffres des nombres premiers. Bourgain (2015) a obtenu une formule asymptotique pour le nombre de nombres premiers avec une proportion c≻0 de chiffres préassignés en base 2 (c est une constante absolue non précisée). Nous généralisons ce résultat à toute base g≥2 et nousdonnons des valeurs explicites pour la proportion c en fonction de g. En adaptant, développant et précisant la stratégie introduite par Bourgain dans le cas g=2, nous présentons une démonstration détaillée du cas général.La preuve est fondée sur la méthode du cercle et combine des techniques d’analyse harmonique avec des résultats sur les zéros des fonctions L de Dirichlet, notamment une région sans zérotrès fine due à Iwaniec. Ce travail s'inscrit aussi dans l'étude des nombres premiers dans des ensembles "rares". Nous étudions également la répartition des "chiffres" (au sens de Dartyge et Sárközy) de quelques suites remarquables dans le contexte des corps finis. Ce concept de "chiffre" est à la base de la représentation des corps finis dans les logiciels de calcul formel. Nous étudions des suites variées comme les suites polynomiales, les générateurs ou encore les produits d'éléments de deux ensembles assez grands. Les méthodes développées permettent d'obtenir des estimations explicites très précises voire optimales dans certains cas. Les sommes d'exponentielles sur les corps finis jouent un rôle essentiel dans les démonstrations.Les résultats obtenus peuvent être reformulés d'un point de vue plus algébrique avec la fonction trace qui est très importante dans l'étude des corps finis. ; In this work, we study the distribution of prime numbers' digits. Bourgain (2015) obtained an asymptotic formula for the number of prime numbers with a proportion c≻0 of preassigned digits in base 2 (c is an absolute constant not specified). We generalize this result in any base g≥2 and we provide explicit admissible values for the proportion c depending on g. By adapting, developing and refining Bourgain's ...