Lombardini, Luca
[Author]
;
Amiens
[Contributor];
Università degli studi (Milan, Italie)
[Contributor];
Farina, Alberto
[Contributor];
Valdinoci, Enrico
[Contributor]
Minimization problems involving nonlocal functionals : nonlocal minimal surfaces and a free boundary problem ; Problèmes de minimisation implicant fonctionnelles non locales : surfaces minimales non locales et un problème à frontière libre
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Media type:
E-Book;
Electronic Thesis;
Text
Title:
Minimization problems involving nonlocal functionals : nonlocal minimal surfaces and a free boundary problem ; Problèmes de minimisation implicant fonctionnelles non locales : surfaces minimales non locales et un problème à frontière libre
Footnote:
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Description:
Cette thèse de doctorat est consacrée à l'analyse de quelques problèmes de minimisation impliquant des fonctionnelles non locales. Nous nous intéressons principalement au périmètre s-fractionnaire et à ses minimiseurs, les ensembles s-minimaux. Nous étudions le comportement des ensembles ayant périmètre fractionnaire fini et nous établissons des résultats d'existence et de compacité pour les ensembles (localement) s-minimaux. Nous étudions les ensembles s-minimaux dans des régimes hautement non locaux, qui correspondent à des petites valeurs du paramètre fractionnaire s. Nous introduisons un cadre fonctionnel pour étudier ces ensembles s-minimaux qui peuvent être écrits globalement en tant que sous-graphes. En particulier, nous prouvons des résultats d'existence et d'unicité pour les minimiseurs d'une version fractionnaire de la fonctionnelle d'aire classique et nous montrons l'équivalence entre les minimiseurs et diverses notions de solution de l'équation de courbure moyenne fractionnaire. Nous montrons un résultat de platitude pour des graphes minimaux non locaux entiers ayant des dérivés partielles majorées ou minorées. En outre, nous considérons un problème à frontière libre, qui consiste en la minimisation d'une fonctionnelle définie comme la somme d'une énergie non locale, plus le périmètre classique. Concernant ce probléme, nous établissons des estimations d'énergie uniformes et nous étudions la suite de blow-up d'un minimiseur, en particulier, en prouvant une formule de monotonie de type Weiss. Dans le dernier chapitre de la thèse nous fournissons un modèle mathématique simple, mais rigoureux, qui décrit la parade de manchots à Phillip Island ; This doctoral thesis is devoted to the analysis of some minimization problems that involve nonlocal functionals. We are mainly concerned with the s-fractional perimeter and its minimizers, the s-minimal sets. We investigate the behavior of sets having finite fractional perimeter and we establish existence and compactness results for (locally) s-minimal sets. We ...