Footnote:
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Description:
Dans cette thèse, on s’intéresse à l’interaction entre les structures multiplicative et additive des entiers. Pour cela, on étudie notamment la fonction « nombre de facteurs premiers distincts », notée ω, dans de très petits intervalles, mais aussi sur des systèmes translatés. Ce projet est né suite à une importante percée de Matomäki & Radziwiłł dans l’étude des petits intervalles, en 2015. Dans un premier temps, on démontre que le théorème d’Erdős-Kac est vérifié dans presque tous les petits intervalles, dès lors que leur taille tend vers l’infini. On s’intéresse ensuite aux lois locales de la fonction ω. On parvient à démontrer, lorsque , que presque tous les intervalles de longueur h contiennent des entiers n6x vérifiant ω(n) = k, dès que h est suffisamment grand. Lorsque , la condition sur h est optimale. On obtient un résultat analogue, bien que non optimal, sur les entiers x1/u-friables pour u6 (logx)1/6−ε, où ε> 0 peut être fixé arbitrairement petit. Les méthodes employées dans le deuxième chapitre invitent naturellement à étudier le comportement de certaines fonctions additives sur des systèmes d’entiers translatés. On démontre alors, dans un troisième temps, une version multidimensionnelle d’un théorème de 1975 dû à Halász, relatif à la concentration maximale des valeurs d’une seule fonction additive. Enfin, dans le quatrième chapitre, on démontre que ω(n−1) vérifie un théorème d’ErdősKac lorsque ω(n) = k est fixé. Cela généralise un résultat d’Halberstam ; In this thesis, we study the interactions between the multiplicative and additive structures of integers. As such, we particularly investigate the function “number of distinct prime factors”, noted ω, on short intervals and shifted systems. This project originates from an important breakthrough of Matomäki & Radziwiłł regarding the study of small intervals, in 2015. As a first step, we show that the Erdős-Kac theorem is valid in almost all short intervals, as long as their length goes to infinity. We then consider the local laws of ω. We ...