Approche numérique de problèmes d'optimisation et applications : machine learning, imagerie, théorie des jeux ; Numerical approach to optimization problems and applications : machine learning, imaging, game theory
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Media type:
E-Book;
Electronic Thesis;
Text
Title:
Approche numérique de problèmes d'optimisation et applications : machine learning, imagerie, théorie des jeux ; Numerical approach to optimization problems and applications : machine learning, imaging, game theory
Footnote:
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Description:
Cette thèse est consacrée à l’étude de systèmes dynamiques dissipatifs et à la conception d’algorithmes pour la résolution de problèmes d’optimisation (tels que la minimisation de fonctions convexes et, plus généralement, le calcul de zéros d’opérateurs monotones) dans un cadre Hilbertien réel.Dans un premier temps, nous proposons et étudions, dans un cadre continu, des dynamiques rapides de type Newton pour la résolution de ces problèmes. Le système dynamique considéré est d’abord inspiré par la reformulation d’une équation du second ordre de type Nesterov stabilisée (par l’ajout d’un amortissement géométrique Hessien) pour la minimisation de fonctions convexes. Cette stratégie est ensuite étendue au cas d’opérateurs monotones généraux. Cela nous permet de traiter simultanément les deux problèmes d’optimisation considérés via un système dissipatif du premier ordre ne faisant intervenir que le gradient de la fonction objectif et l’approximation de Yosida d’un opérateur général. Cette dernière formulation constitue un cadre particulièrement adapté à la construction de schémas numériques issus de variantes discrètes de notre modèle continu. Elle permet, en effet, de s’affranchir de la discrétisation temporelle de termes contraignants qui pourraient donner lieu à des schémas coûteux en calculs et/ou limités en application.Puis, nous nous intéressons à la minimisation structurée de fonctions convexes non lisses, à l’aide d’un algorithme issu d’une discrétisation temporelle de notre modèle du premier ordre. L’algorithme AFB (Accelerated Forward-Backward), récemment proposé comme variante convergente de FISTA (Fast Iterative Shrinkage-Thesholding Algorithm), est obtenu comme cas particulier de notre schéma numérique. Outre les propriétés de convergence bien connues de AFB, nous démontrons la convergence rapide vers zéro des sous-gradients de la fonction objectif. Ceci n’était démontré jusqu’alors que pour des fonctions suffisamment régulières.Finalement, concernant de la résolution d’inclusions monotones structurées ...