Crin-Barat, Timothée
[Author]
;
Paris Est
[Contributor];
Danchin, Raphaël
[Contributor]
Systèmes hyperboliques partiellement dissipatifs et applications à la mécanique des fluides ; Partially dissipative hyperbolic systems and applications to fluid mechanics
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Media type:
E-Book;
Electronic Thesis;
Text
Title:
Systèmes hyperboliques partiellement dissipatifs et applications à la mécanique des fluides ; Partially dissipative hyperbolic systems and applications to fluid mechanics
Footnote:
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Description:
Cette thèse est consacrée à l'étude de la classe des systèmes hyperboliques partiellement dissipatifs satisfaisant la condition de stabilité de Shizuta-Kawashima (souvent appelée "condition (SK)'') et à un modèle multi-fluide compressible proche de cette classe mais ne vérifiant pas cette condition, le tout dans un cadre à régularité critique.Dans sa thèse datant des années 80, Kawashima a découvert un critère systématique (la condition (SK)) assurant l'existence de solutions globales pour des systèmes partiellement dissipatifs et/ou diffusifs. Ce critère a été récemment revisité par Beauchard et Zuazua qui ont fait le lien avec la notion d'observabilité en théorie du contrôle, et ont pu démontrer l'existence globale de solutions dans des situations qui n'étaient pas couvertes par Kawashima. Pour cela, inspirés par la théorie de l'hypo-coercivité de Villani, ils ont construit des fonctionnelles de Lyapunov comprenant des termes d'ordres inférieurs.Dans la première partie de cette thèse nous établissons l'existence de solutions globales-en-temps pour de petites données initiales dans des espaces de Besov homogènes critiques et justifions la convergence en temps grand vers des états stationnaires stables avec un taux de convergence algébrique. Pour cela, nous reprenons les arguments de Beauchard et Zuazua directement sur le système localisé en fréquences grâce à la décomposition de Littlewood-Paley et au calcul paradifférentiel, et nous analysons les basses fréquences de manière approfondie. Un point clé de notre analyse est la mise en lumière d'un mode textit{purement} amorti en basses fréquencesqui nous permet d'obtenir de meilleures estimations que celles que l'on obtient avec la théorie de Kawashima. Cela nous permet de conclureque le système est globalement bien posé puis, dans le cas particulierdu système d'Euler compressible amorti, de montrer la convergencevers l'équation des milieux poreux lorsque le coefficient d'amortissementtend vers l'infini. Pour ce dernier problème, nous justifions la convergence ...