Clozeau, Nicolas
[Author]
;
Sorbonne université
[Contributor];
Gloria, Antoine
[Contributor];
Otto, Felix
[Contributor]
Quantitative estimates in stochastic homogenization of elliptic equations and systems ; Estimations quantitatives en homogénéisation stochastique d’équations et de systèmes elliptiques
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E-Book;
Electronic Thesis;
Text
Title:
Quantitative estimates in stochastic homogenization of elliptic equations and systems ; Estimations quantitatives en homogénéisation stochastique d’équations et de systèmes elliptiques
Footnote:
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Description:
Cette thèse de doctorat vise à mieux comprendre la théorie quantitative de l'homogénéisation stochastique des équations et systèmes elliptiques. Dans le chapitre 2, nous étudions le cas des systèmes elliptiques linéaires à coefficients aléatoires possédant des propriétés de corrélation à longue portée. Nous adoptons une approche parabolique et, en combinant des outils de la théorie de la régularité et des probabilités (sous forme d’inégalités de Sobolev logarithmique), nous quantifions de manière optimale la décroissance en temps du semi-groupe parabolique avec une dépendance explicite en la longueur de corrélation. Dans le chapitre 3, nous nous tournons vers l'analyse des équations elliptiques non linéaires à coefficients fortement monotones. Sous une hypothèse de corrélation à courte portée, nous prouvons des estimations optimales sur les correcteurs et l'expansion à deux échelles, en développant de nouvelles estimations aux grandes échelles perturbatives pour l'opérateur linéarisé. Dans les chapitres 4 et 5, nous établissons des estimations sur le biais de la méthode de l'élément de volume représentatif appliquée aux équations elliptiques linéaires. En considérant une périodisation en loi des coefficients au lieu d’une méthode plus classique basée sur des « snapshots » du médias, nous établissons le développement au premier ordre de l’erreur par rapport à la taille de la boîte. Ce résultat est obtenu en combinant un calcul Gaussien sous la forme de la formule de Price que l’on généralise à la dimension infinie (au chapitre 4) et un résultat d'expansion à deux échelles de la fonction de Green ainsi que des estimations stochastiques sur les correcteurs (au chapitre 5). ; This PhD thesis aims at a better understanding of the quantitative theory of the stochastic homogenization of elliptic equations and systems. In Chapter 2, we investigate the case of linear elliptic systems with random coefficients and long-range correlation. We adopt a parabolic approach and, by combining tools from probability (in the form of ...