Footnote:
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Description:
Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique du flot géodésique des variétés projectives convexes, et fait suite aux travaux de Benoist, Bray, Crampon, Marquis et F.Zhu sur le sujet.Ces variétés sont des quotients d'ouverts projectifs proprement convexes, munis de la métrique de Hilbert, par des groupes linéaires discrets sans torsion, et le flot géodésique y suit les lignes droites projectives.Elles présentent des similitudes avec les variétés riemanniennes à courbure négative ou nulle, ainsi on s'inspirera des nombreux travaux, notamment ceux de Knieper et Roblin, portant sur le flot géodésique de ces dernières. En particulier, la majeure partie des résultats présentés ici portent sur les variétés projectives convexes de rang un, introduites par M.Islam et A.Zimmer, et analogues aux variétés riemanniennes de rang un.Étant donnée une variété projective convexe de rang un, nous introduisons un fermé du fibré unitaire tangent invariant par le flot géodésique, appelé fibré unitaire tangent biproximal, dont nous montrons qu'il est le fibré unitaire tangent tout entier dans le cas compact, et que le flot géodésique y est topologiquement mélangeant en général. (Un résultat de mélange est aussi obtenu dans le cas compact de rang supérieur.) Nous développons la théorie des densités de Patterson--Sullivan pour les variétés projectives convexes de rang un, qui est utilisée pour obtenir une dichotomie de Hopf--Tsuji--Sullivan--Roblin et l'existence et unicité de la mesure d'entropie maximale sur le fibré unitaire tangent biproximal lorsque le cœur convexe (introduit par Danciger--Guéritaud--Kassel) est compact. Cette théorie nous permet aussi d'obtenir sous certaines conditions plusieurs résultats d'équidistribution : les géodésiques périodiques s'équidistribuent dans le fibré unitaire tangent biproximal, tandis que chaque orbite du groupe fondamental dans le revêtement universel de la variété s'accumule sur le bord projectif de ce dernier comme prescrit par la densité de Patterson--Sullivan.En parallèle, faisant ...