Footnote:
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Description:
Pour une variété algébrique lisse Χ définie sur un corps de nombres Κ, on peut se poser plusieurs questions sur l'abondance de ses points rationnels. En particulier, cette thèse s'intéresse aux trois propriétés suivantes : propriété de Hilbert, l'approximation faible et l'approximation forte. La première concerne plus ou moins la question de l'extension du théorème d'irréductibilité de Hilbert à une Χ arbitraire (par quoi nous entendons que les paramètres du théorème peuvent varier parmi les points rationnels de cette variété), le cas intéressant étant lorsque Χ est non rationnel, car sinon on retrouve précisément le théorème originel de Hilbert. Les deux autres concernent la question de la densité des points rationnels de Χ dans les points adéliques (possiblement en dehors d'ensemble finis de places). L'adjectif “faible” est normalement utilisé pour parler de variétés propres, et l'adjectif “fort" est utilisé autrement. Dans le premier travail original qui fait partie de cette thèse, nous montrons que, sous une hypothèse technique, une surface algébrique Χ propre, avec les points rationnels Zariski-denses, et qui est dotée de deux ou plusieurs fibrations de genre 1, a la propriété de Hilbert. Ce résultat généralise un résultat antérieur de Corvaja et Zannier, qui ont prouvé la propriété de Hilbert pour la surface de Fermat x⁴+y⁴=z⁴+w⁴. La technique utilisée est similaire à la leur, l'idée principale étant de transporter les points rationnels autour de la surface à l'aide des fibres elliptiques des différentes fibrations. Dans la deuxième partie de la thèse, nous montrons que pour tous les espaces homogènes X, sous certaines hypothèses techniques, l'obstruction de Brauer-Manin étale est la seule à l'approximation forte. Cette obstruction est notamment obtenue en appliquant l'obstruction de Brauer-Manin sur tous les torseurs étales finis sur X. Notre preuve est essentiellement une réduction à un théorème de Borovoi et Demarche, qui ont montré que (toujours sous des hypothèses techniques) pour les espaces ...