Talbi, Mehdi
[Author]
;
Institut polytechnique de Paris
[Contributor];
Touzi, Nizar
[Contributor]
Arrêt optimal champ-moyen et approximations d'équations aux dérivées partielles sur l'espace de Wasserstein ; Mean field optimal stopping and approximations of partial differential equations on Wasserstein space
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Media type:
E-Book;
Electronic Thesis;
Text
Title:
Arrêt optimal champ-moyen et approximations d'équations aux dérivées partielles sur l'espace de Wasserstein ; Mean field optimal stopping and approximations of partial differential equations on Wasserstein space
Footnote:
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Description:
Cette thèse comporte deux parties.La première porte sur l’étude du problème d’arrêt optimal champ moyen, c’est-à-dire del’arrêt optimal d’une diffusion du type McKean-Vlasov, lorsque le critère à optimiser est une fonction de la distribution du processus arrêté. Ce problème permet de modéliser la situation où un planificateur central, contrôlant une population infinie d’agents en interaction, doit attribuer à chaque agent un temps d’arrêt en vue d’optimiser un certain critère dépendant de la distribution du système.Nous étudions ce problème via une approche type programmation dynamique, qui permet de caractériser sa fonction valeur par une équation aux dérivées partielles sur l’espace des mesures, que nous appelons problème (ou équation) de l’obstacle sur l’espace de Wasser- stein, par analogie avec le problème de l’obstacle classique, rencontré notamment en arrêt optimal standard. Nous montrons en particulier que si cette équation dispose d’une solution classique, alors cette dernière est égale à la fonction valeur du problème d’arrêt optimal champ-moyen, et peut être utilisée pour caractériser les stratégies d’arrêt optimales.Nous étendons ensuite cette étude au cas où la fonction valeur n’est pas nécessairement différentiable. Ainsi, nous introduisons une notion de solution de viscosité pour l’équation de l’obstacle sur l’espace de Wasserstein, pour laquelle nous montrons les propriétés de con- sistance avec les solutions classiques, de stabilité et d’unicité.Dans la seconde partie de la thèse, nous nous intéressons au développement d’approximations pour certaines classes d’équations aux dérivées partielles sur l’espace des mesures de prob- abilité. Plus précisément, nous montrons que les solutions de viscosité de ces équations peuvent s’écrire comme limites de solutions de viscosité d’équations définies sur des espacesde dimension finie.Nous nous intéressons d’abord au cas du problème de l’obstacle sur l’espace de Wasserstein, dont il s’avère que l’équation d’approximation correspond à l’équation de la ...