Péringuey, Paul
[Author]
;
Université de Lorraine
[Contributor];
Dartyge, Cécile
[Contributor]
Conjecture d’Artin sur les racines primitives généralisées parmi les entiers avec peu de facteurs premiers ; Artin's conjecture on generalized primitive roots among integers with few prime factors
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E-Book;
Electronic Thesis;
Text
Title:
Conjecture d’Artin sur les racines primitives généralisées parmi les entiers avec peu de facteurs premiers ; Artin's conjecture on generalized primitive roots among integers with few prime factors
Footnote:
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Description:
Dans cette thèse nous nous intéressons à une généralisation de la notion de racine primitive proposée par Carmichael : un entier a est une racine primitive généralisée modulo un entier positif n s'il engendre un sous-groupe de taille maximale dans « mathbb{Z}/nmathbb{Z} ». Plus précisément, nous étudions un analogue de la conjecture d'Artin pour les racines primitives dans ce cadre. La conjecture d'Artin stipule que la proportion de nombres premiers plus petits que x, pour lesquels un entier a donné est une racine primitive, converge vers une limite non nulle du moment que a n'est ni -1 ni un carré. Cette conjecture a été démontrée conditionnellement à l'hypothèse de Riemann généralisée pour certains corps de nombres par Hooley en 1967. Par analogie avec la conjecture d'Artin nous comptons le nombre d'éléments d'un sous-ensemble des entiers positifs A plus petits que x pour lesquels un entier a donné est une racine primitive généralisée. Le cas où l'ensemble A est l'ensemble de tous les entiers positifs ayant déjà été traité par Li et Pomerance dans divers articles. Dans le premier chapitre de cette thèse nous introduisons une caractérisation des racines primitives généralisée modulo un entier n en fonction de la factorisation en produit de facteurs premiers de n, puis nous décrivons une approche heuristique du problème. Le second chapitre est consacré au cas où l'ensemble A est l'ensemble des nombres ell presque premier, c'est à dire les entiers ayant au plus ell facteurs premiers. En utilisant des méthodes de crible, des résultats de théorie algébrique des nombres, la méthode de Selberg-Delange et quelques arguments combinatoires nous démontrons, conditionnellement à l'hypothèse de Riemann généralisée, des résultats analogues à ceux obtenus par Hooley pour la conjecture d'Artin. De plus, nous montrons inconditionnellement une borne supérieure pour la proportion de presque premiers pour lesquels a est une racine primitive généralisée. Enfin nous montrons que dans le cas particulier où ell=2, un meilleur terme ...