Tsai, Tsung-Hsuan
[Author]
;
Strasbourg
[Contributor];
Delzant, Thomas
[Contributor]
Phase transitions in random groups : free subgroups and van Kampen 2-complexes ; Transitions de phase dans les groupes aléatoires : sous-groupes libres et 2-complexes de van Kampen
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Media type:
Text;
Electronic Thesis;
E-Book
Title:
Phase transitions in random groups : free subgroups and van Kampen 2-complexes ; Transitions de phase dans les groupes aléatoires : sous-groupes libres et 2-complexes de van Kampen
Footnote:
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Description:
Dans cette thèse, nous étudions les transitions de phase dans les groupes aléatoires à densité. Un groupe aléatoire à densité d est défini par une présentation avec m générateurs et 2m-1 puissance dl relations aléatoires, où l est la longueur maximale des relations. Nous avons deux résultats principaux : un sur le problème des sous-groupes libres et l'autre sur l'existence des 2-complexes de van Kampen. Pour tout entier r entre 1 et m-1, nous trouvons une transition de phase à la densité d(r) = min{1/2, 1-log(2r-1)/log(2m-1)} : Si d>dr, alors les r premiers générateurs engendrent le groupe entier ; si d<d(r), alors les r premiers générateurs engendrent un sous-groupe libre. Ce résultat donne de nouveaux exemples de présentations de groupes satisfaisant la propriété de Freiheitssatz, avec une grande variété de longueurs de relations. Pour chaque 2-complexe d'une forme géométrique donnée, nous donnons une densité critique qui caractérise l'existence d'un 2-complexe de van Kampen dont le 2-complexe sous-jacent est celui donné. Afin de prouver ce résultat, nous étudions en détail la formule d'intersection pour les sous-ensembles aléatoires et donnons une version multidimensionnelle de cette formule. ; In this thesis, we study phase transitions in random groups at density. A random group at density d is defined by a presentation with m generators and 2m-1 powers dl random relations, where l is the maximal length of the relations. We have two main results: one on the free subgroup problem and the other on the existence of van Kampen 2-complexes. For any integer r between 1 and m-1, we find a phase transition at the density d(r) = min{1/2, 1-log(2r-1)/log(2m-1)}: If d>d(r), then the r first generators generate the whole group; if d<d(r), then the r first generators generate a free subgroup. This result gives new examples of group presentations satisfying the Freiheitssatz property, with a wide variety of relation lengths. For each 2-complex of a given geometric form, we give a critical density which ...