Footnote:
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Description:
Cette thèse concerne la géométrie des variétés hyperkählériennes. Elle est composée de deux parties et cinq chapitres. Dans la première partie, on étudie quelques propriétés générales de ces variétés. Dans la deuxième partie, on se concentre sur une famille particulière de variétés hyperkählériennes projectives, dite de Debarre-Voisin, et étudie leur géométrie explicite. Au Chapitre 1, on rappelle quelques résultats de base bien connus sur les variétés hyperkählériennes. Au Chapitre 2, on étudie quelques aspects numériques des variétés hyperkählériennes. Premièrement, on montre une borne supérieure conditionnelle sur le deuxième nombre de Betti, en termes des constantes de Fujiki généralisées, ou de manière équivalente, en termes du polynôme de Riemann-Roch. Ensuite, on étudie la classe cohomologique d'un sous-espace lagrangien. On montre une formule pour la projection de la classe cohomologique vers la composante de Verbitsky. On propose aussi une formule conjecturale pour la classe entière dans le cas de K3^[n], qui a été vérifiée pour n jusqu'à 6. Au Chapitre 3, on étudie les espaces de modules et les applications des périodes pour les variétés hyperkählériennes projectives. En général, l'espace de modules pour les variétés hyperkählériennes polarisées avec un type de polarisation fixé n'est pas nécessairement connexe. Pour les K3^[n] et les Kum_n, on obtient une formule précise pour le nombre de composantes connexes, ainsi que le nombre des types de polarisation ayant un carré et une divisibilité donnés. Puis on étudie l'image de l'application des périodes polarisée, et on montre que lorsque l'espace de modules n'est pas connexe, les images de l'application des périodes peuvent être différentes si l'on se restreint sur des composantes différentes. Au Chapitre 4, on étudie les propriétés générales des variétés de Debarre-Voisin. Une telle variété est définie à partir d'un trivecteur, et on peut aussi lui associer deux autres variétés qui sont Fano de type K3. On obtient d'abord les critères de lissité pour ...