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Description:
Wir untersuchen in dieser Dissertation eine Verallgemeinerung der eichtheoretischen Seiberg-Witten Gleichungen über einer 4-Mannigfaltigkeit X. Die Verallgemeinerung erfordert eine hyperKählersche Mannigfaltigkeit M mit gewissen Symmetrien und einen nichtlinearen Dirac-Operator D. Der Definitionsbereich des Dirac-Operators besteht aus allen äquivarianten Abbildungen u mit Werten in M.Wir beweisen einen Klassifikationssatz über solchen hyperKählerschen Mannigfaltigkeiten und schlagen eine neue Konstruktionsmethode vor. Wir erhalten damit neue Beispiele für hyperKählersche und auch naheliegende quaternional-Kählersche Mannigfaltigkeiten. Bei manchen Beispielen zeigen wir nicht nur die Existenz, sondern konstruieren explizit auch hyper- und quaternional- Kählersche Strukturen.Wir beweisen auch, dass harmonische Spinoren, d.h. Lösungen der Gleichung Du=0, verwandt mit Lösungen der sogenannten Cauchy-Riemann-Fueter-Gleichung sind. Wir beweisen danach, dass die Lösungen der Cauchy-Riemann-Fueter-Gleichung, ein "richtiges" Analogon der holomorphen Abbildungen im quaternionalen Kontext, genau die Abbildungen sind, deren Differenzial keine triholomorphe Komponente hat. Deshalb führen wir das Fachwort "aholomorph" ein. Wir zeigen weiter, dass harmonische Spinoren (im gewißen Sinn) als getwistete Version der aholomorphen Abbildungen betrachtet werden können.Das letzte Kapitel der Dissertation ist den verallgemeinerten Seiberg-Witten-Gleichungen über Kählerschen Flächen gewidmet. Hier beweisen wir, dass der Raum der Lösungen eine holomorphe Beschreibung (im üblichen komplexen Sinn) zulässt. Wenn X ein Produkt von zwei holomorphen Kurven ist, zeigen wir (bis auf die "adiabatic limit conjecture"), dass eine Relation zwischen holomorphen Kurven (wie in der Gromov-Theorie), Symplectic-Vortex-Gleichungen und Seiberg-Witten-Gleichungen existiert. ; In this thesis we study a certain generalization of the gauge-theoretical Seiberg-Witten equations over a source 4-manifold X. The generalization involves a hyperKähler manifold M with ...