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Description:
In dieser Dissertation wird die Differenzialgeometrie der nichtkommutativen Mannigfaltigkeiten studiert. Es wird ein axiomatischer Zugang dargestellt, der auf der Poincaré-Dualität basiert; es wird die Theorie der Differentialformen und Sobolev-Räume auf nichtkommutativen Mannigfaltigkeiten aufgestellt. Wir führen Bedingungen ein, unter den die nichtkommutativen Mannigfaltigkeiten gutartigen Differenzialkalkül und Sobolev-Theorie haben. Außerdem untersuchen wir die Eigenschaften des Laplace-Operators auf Differenzialformen und beweisen, dass er in gewissen Fällen kompakte Resolvente hat, ähnlich zur kommutativen Situation. Dies erlaubt uns, die Fragen über den Vergleich der "de Rham-Kohomologie" und periodischer zyklischer Kohomologie aufzustellen und zu untersuchen.Im zweiten Teil der Dissertation wird ein Analogon der Seiberg-Witten-Gleichungen für nichtkommutative Mannigfaltigkeiten aufgestellt. Es wird bewiesen, dass die bekannten Eigenschaften der Seiberg Witten-Eichtheorie auch im nichtkommutativen Fall erhalten bleiben; beispielsweise, stimmen die Moduliräume der glatten Lösungen mit den Moduliräumen der Sobolev-Lösungen für große Sobolev-Parameter überein, solange die nichtkommutative Mannigfaltigkeit eine gutartige Sobolevtheorie hat. Außerdem wird eine holomorphe Beschreibung des Moduliraumes für torische Deformationen der Kähler-Mannigfaltigkeiten hergeleitet, die uns erlaubt, die Moduliräume für eine Familie von solchen deformierten Mannigfaltigkeiten zu bestimmen, wo die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit konstante Skalarkrümmung hat. ; In this thesis we study differential geometry of noncommutative manifolds. We introduce a general framework of noncommutative manifolds based on Poincaré duality and study the notions of differential forms and Sobolev spaces for noncommutative manifolds. We introduc conditions under which the noncommutative manifold sonable differentia calculus and Sobole , we study th properties of th