Stability conditions for linear nonautonomous delay differential equations

Media type: E-Article

Title: Stability conditions for linear nonautonomous delay differential equations

Contributor: Busenberg, Stavros N.; Cooke, Kenneth L.

imprint: American Mathematical Society (AMS), 1984

Language: English

DOI: 10.1090/qam/757167

ISSN: 0033-569X; 1552-4485

Keywords: Applied Mathematics

Origination:

Footnote:

Description: <p>We derive new sufficient conditions for uniform asymptotic stability of the zero solution of linear non-autonomous delay differential equations. The equations considered include scalar equations of the form <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x prime left-parenthesis t right-parenthesis equals minus c left-parenthesis t right-parenthesis x left-parenthesis t right-parenthesis plus sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript n Endscripts b Subscript i Baseline left-parenthesis t right-parenthesis x left-parenthesis t minus upper T Subscript i Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x’\left ( t \right ) = - c\left ( t \right )x\left ( t \right ) + \sum \limits _{i = 1}^n {{b_i}\left ( t \right )x\left ( {t - {T_i}} \right )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c\left ( t \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b Subscript i Baseline left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{b_i}\left ( t \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are continuous for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t \ge 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T Subscript i"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{T_i}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a positive number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis i equals 1 comma 2 comma period period period comma n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(i = 1, 2,...,n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and also systems of the form <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x prime left-parenthesis t right-parenthesis equals upper B left-parenthesis t right-parenthesis x left-parenthesis t minus upper T right-parenthesis minus upper C left-parenthesis t right-parenthesis x left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x’(t) = B(t)x(t - T) - C(t)x(t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B(t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>) and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C(t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n times n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \times n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> matrices. The results are found by using the method of Lyapunov functionals.</p>

Access State: Open Access

Search in field:

Recently searched for: