Media type: E-Article Title: Better bounds for periodic solutions of differential equations in Banach spaces Contributor: Busenberg, Stavros N.; Fisher, David C.; Martelli, Mario imprint: American Mathematical Society (AMS), 1986 Published in: Proceedings of the American Mathematical Society Language: English DOI: 10.1090/s0002-9939-1986-0854051-6 ISSN: 0002-9939; 1088-6826 Origination: Footnote: Description: <p>Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f"> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be Lipschitz with constant <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L"> <mml:semantics> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in a Banach space and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x(t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P"> <mml:semantics> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-periodic solution of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x prime left-parenthesis t right-parenthesis equals f left-parenthesis x left-parenthesis t right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x’(t) = f(x(t))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We show that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P greater-than-or-slanted-equals 6 slash upper L"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P \geqslant 6/L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. An example is given with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P equals 2 pi slash upper L"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P = 2\pi /L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, so the bound is nearly strict. We also give a short proof that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P greater-than-or-slanted-equals 2 pi slash upper L"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P \geqslant 2\pi /L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in a Hilbert space.</p> Access State: Open Access