Existence of smooth solutions to the classical moment problems

Media type: E-Article

Title: Existence of smooth solutions to the classical moment problems

Contributor: Jorgensen, Palle E. T.

imprint: American Mathematical Society (AMS), 1992

Language: English

DOI: 10.1090/s0002-9947-1992-1059709-1

ISSN: 0002-9947; 1088-6850

Keywords: Applied Mathematics ; General Mathematics

Origination:

Footnote:

Description: <p>Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s left-parenthesis 0 right-parenthesis comma s left-parenthesis 1 right-parenthesis comma ellipsis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s(0),s(1), \ldots</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a given sequence, and define <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s left-parenthesis n right-parenthesis equals ModifyingAbove s left-parenthesis negative n right-parenthesis With bar"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo accent="false">¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s(n) = \overline {s( - n)}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n > 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. If <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Sigma normal upper Sigma xi overbar Subscript n Baseline xi Subscript m Baseline s left-parenthesis m minus n right-parenthesis greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Σ</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Σ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo accent="false">¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Sigma \Sigma {\overline \xi _n}{\xi _m}s(m - n) \geq 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> holds for all finite sequences <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis xi Subscript n Baseline right-parenthesis Subscript n element-of double-struck upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{({\xi _n})_{n \in \mathbb {Z}}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then it is known that there is a positive Borel measure <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu"> <mml:semantics> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on the circle <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper T"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {T}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s left-parenthesis n right-parenthesis equals integral Subscript negative pi Superscript pi Baseline e Superscript i n t Baseline d mu left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo largeop="false">∫</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s(n) = \smallint _{ - \pi }^\pi {{e^{int}}d\mu (t)}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and conversely. Our main theorem provides a necessary and sufficient condition on the sequence <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis s left-parenthesis n right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(s(n))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> that the measure <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu"> <mml:semantics> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> may be chosen to be smooth. A measure <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu"> <mml:semantics> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is said to be smooth if it has the same spectral type as the operator <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i d slash d t"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">id/dt</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> acting on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L squared left-parenthesis double-struck upper T right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L^2}(\mathbb {T})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with respect to Haar measure <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d t"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">dt</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper T"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {T}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>: Equivalently, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu"> <mml:semantics> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a superposition (possibly infinite) of measures of the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue w left-parenthesis t right-parenthesis EndAbsoluteValue squared d t"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|w(t){|^2}dt</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w element-of upper L squared left-parenthesis double-struck upper T right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">w \in {L^2}(\mathbb {T})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d w slash d t element-of upper L squared left-parenthesis double-struck upper T right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">dw/dt \in {L^2}(\mathbb {T})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The condition is stated purely in terms of the initially given sequence <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis s left-parenthesis n right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(s(n))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>: We show that a smooth representation exists if and only if, for some <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon element-of double-struck upper R Subscript plus"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon \in {\mathbb {R}_ + }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the a <italic>priori</italic> estimate <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation sigma-summation s left-parenthesis m minus n right-parenthesis xi overbar Subscript n Baseline xi Subscript m Baseline greater-than-or-equal-to epsilon StartAbsoluteValue sigma-summation n s left-parenthesis n right-parenthesis xi Subscript n Baseline EndAbsoluteValue squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo accent="false">¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sum {\sum {s(m - n){{\overline \xi }_n}{\xi _m} \geq \varepsilon {{\left | {\sum {ns(n){\xi _n}} } \right |}^2}} }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> is valid for all finite double sequences <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis xi Subscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({\xi _n})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. An analogous result is proved for the determinate (Hamburger) moment problem on the line. But the corresponding result does not hold for the indeterminate moment problem.</p>

Access State: Open Access

Search in field:

Recently searched for: