Issues in nonlinear hyperperfect numbers

Media type: E-Article

Title: Issues in nonlinear hyperperfect numbers

Contributor: Minoli, Daniel

imprint: American Mathematical Society (AMS), 1980

Language: English

DOI: 10.1090/s0025-5718-1980-0559206-9

ISSN: 0025-5718; 1088-6842

Keywords: Applied Mathematics ; Computational Mathematics ; Algebra and Number Theory

Origination:

Footnote:

Description: <p>Hyperperfect numbers (HP) are a generalization of perfect numbers and as such share remarkably similar properties. In this note we show, among other things, that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m equals p 1 Superscript alpha 1 Baseline p 2 Superscript alpha 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m = p_1^{{\alpha _1}}p_2^{{\alpha _2}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is 2-HP then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha 2 equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\alpha _2} = 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p 1 equals 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{p_1} = 3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p 2 equals 3 Superscript alpha 1 plus 1 Baseline minus 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{p_2} = {3^{{\alpha _1} + 1}} - 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; this is in agreement with the structure of the perfect case (1-HP) stating that such a number is of the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m equals p 1 Superscript alpha 1 Baseline p 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m = p_1^{{\alpha _1}}{p_2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p 1 equals 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{p_1} = 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p 2 equals 2 Superscript alpha 1 plus 1 Baseline minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{p_2} = {2^{{\alpha _1} + 1}} - 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p>

Access State: Open Access

Search in field:

Recently searched for: