On estimates for the weights in Gaussian quadrature in the ultraspherical case

Media type: E-Article

Title: On estimates for the weights in Gaussian quadrature in the ultraspherical case

Contributor: Förster, Klaus-Jürgen; Petras, Knut

imprint: American Mathematical Society (AMS), 1990

Language: English

DOI: 10.1090/s0025-5718-1990-1023758-1

ISSN: 0025-5718; 1088-6842

Keywords: Applied Mathematics ; Computational Mathematics ; Algebra and Number Theory

Origination:

Footnote:

Description: <p>In this paper the Christoffel numbers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a Subscript v comma n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis upper G"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a_{v,n}^{(\lambda )G}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for ultraspherical weight functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript lamda"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{w_\lambda }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis 1 minus x squared right-parenthesis Superscript lamda minus 1 slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{w_\lambda }(x) = {(1 - {x^2})^{\lambda - 1/2}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, are investigated. Using only elementary functions, we state new inequalities, monotonicity properties and asymptotic approximations, which improve several known results. In particular, denoting by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="theta Subscript v comma n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\theta _{v,n}^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the trigonometric representation of the Gaussian nodes, we obtain for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda element-of left-bracket 0 comma 1 right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda \in [0,1]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the inequalities <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row StartFraction pi Over n plus lamda EndFraction sine Superscript 2 lamda Baseline theta Subscript v comma n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline left-brace 1 minus StartFraction lamda left-parenthesis 1 minus lamda right-parenthesis Over 2 left-parenthesis n plus lamda right-parenthesis squared sine squared theta Subscript v comma n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline EndFraction right-brace 2nd Row less-than-or-equal-to a Subscript v comma n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis upper G Baseline less-than-or-equal-to StartFraction pi Over n plus lamda EndFraction sine Superscript 2 lamda Baseline theta Subscript v comma n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>sin</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>sin</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>sin</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin {array}{*{20}{c}} {\frac {\pi }{{n + \lambda }}{{\sin }^{2\lambda }}\theta _{v,n}^{(\lambda )}\left \{ {1 - \frac {{\lambda (1 - \lambda )}}{{2{{(n + \lambda )}^2}{{\sin }^2}\theta _{v,n}^{(\lambda )}}}} \right \}} \\ { \leq a_{v,n}^{(\lambda )G} \leq \frac {\pi }{{n + \lambda }}\;{{\sin }^{2\lambda }}\theta _{v,n}^{(\lambda )}} \\ \end {array}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> and similar results for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda not-an-element-of left-parenthesis 0 comma 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>∉</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda \notin (0,1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Furthermore, assuming that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="theta Subscript v comma n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\theta _{v,n}^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> remains in a fixed closed interval, lying in the interior of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis 0 comma pi right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(0,\pi )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n right-arrow normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \to \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, we show that, for every fixed <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda greater-than negative 1 slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda > - 1/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a Subscript v comma n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis upper G Baseline equals StartFraction pi Over n plus lamda EndFraction sine Superscript 2 lamda Baseline theta Subscript v comma n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline left-brace 1 minus StartFraction lamda left-parenthesis 1 minus lamda right-parenthesis Over 2 left-parenthesis n plus lamda right-parenthesis squared sine squared theta Subscript v comma n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline EndFraction minus StartFraction lamda left-parenthesis 1 minus lamda right-parenthesis left-bracket 3 left-parenthesis lamda plus 1 right-parenthesis left-parenthesis lamda minus 2 right-parenthesis plus 4 sine squared theta Subscript v comma n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline right-bracket Over 8 left-parenthesis n plus lamda right-parenthesis Superscript 4 Baseline sine Superscript 4 Baseline theta Subscript v comma n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline EndFraction right-brace plus upper O left-parenthesis n Superscript negative 7 Baseline right-parenthesis period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>sin</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>sin</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>sin</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>sin</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a_{v,n}^{(\lambda )G} = \frac {\pi }{{n + \lambda }}\;{\sin ^{2\lambda }}\theta _{v,n}^{(\lambda )}\left \{ {1 - \frac {{\lambda (1 - \lambda )}}{{2{{(n + \lambda )}^2}{{\sin }^2}\theta _{v,n}^{(\lambda )}}} - \frac {{\lambda (1 - \lambda )\;[3(\lambda + 1)(\lambda - 2) + 4{{\sin }^2}\theta _{v,n}^{(\lambda )}]}}{{8{{(n + \lambda )}^4}{{\sin }^4}\theta _{v,n}^{(\lambda )}}}} \right \} + O({n^{ - 7}}).</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula></p>

Access State: Open Access

Search in field:

Recently searched for: