On subspaces of spaces $$C_p(X)$$ isomorphic to spaces $$c_{0}$$ and $$\ell _{q}$$ with the topology induced from $$\mathbb {R}^{\mathbb {N}}$$

Media type: E-Article
Title: On subspaces of spaces $$C_p(X)$$ isomorphic to spaces $$c_{0}$$ and $$\ell _{q}$$ with the topology induced from $$\mathbb {R}^{\mathbb {N}}$$
Contributor: Ka̧kol, Jerzy; Molto, Anibal; Śliwa, Wiesław
imprint: Springer Science and Business Media LLC, 2023
Published in: Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A. Matemáticas
Language: English
DOI: 10.1007/s13398-023-01480-0
ISSN: 1578-7303; 1579-1505
Origination:
Footnote:
Description: <jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>The linear space of all continuous real-valued functions on a Tychonoff space <jats:italic>X</jats:italic> with the pointwise topology (induced from the product space <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\mathbb {R}^X$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>) is denoted by <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$C_p(X).$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> In this paper we continue the systematic study of sequences spaces <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$c_{0}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\ell _{q}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> (for <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$0<q\le \infty $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>) with the topology induced from <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\mathbb {R}^{\mathbb {N}}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> (denoted by <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(c_{0})_p$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(\ell _{q})_{p}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, respectively) and their role in the theory of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$C_p(X)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> spaces. For every infinite Tychonoff space <jats:italic>X</jats:italic> we construct a subspace <jats:italic>F</jats:italic> of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$C_p(X)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> that is isomorphic to <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(c_{0})_p$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>; if <jats:italic>X</jats:italic> contains an infinite compact subset, then the copy <jats:italic>F</jats:italic> of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(c_{0})_p$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is closed in <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$C_p(X)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. It follows that <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$C_p(X)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> contains a copy of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(\ell _{q})_{p}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> for every <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$0<q\le \infty $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. We prove that for any infinite compact space <jats:italic>X</jats:italic> the space <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$C_p(X)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> contains no closed copy of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(\ell _{q})_{p}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> for <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$q\in (0, 1]\cup \{\infty \}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and no complemented copy for <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$0<q\le \infty $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. Relation with results of Talagrand, Haydon, Levy and Odell will be also discussed. Examples and open problems will be provided.</jats:p>

Search in field:

Recently searched for: