Description:
<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>We consider a Markov chain (<jats:italic>M</jats:italic><jats:sub><jats:italic>n</jats:italic></jats:sub>)<jats:sub><jats:italic>n</jats:italic>≥0</jats:sub> on the set ℕ<jats:sub>0</jats:sub> of nonnegative integers which is eventually decreasing, i.e. ℙ{<jats:italic>M</jats:italic><jats:sub><jats:italic>n</jats:italic>+1</jats:sub><<jats:italic>M</jats:italic><jats:sub><jats:italic>n</jats:italic></jats:sub> | <jats:italic>M</jats:italic><jats:sub><jats:italic>n</jats:italic></jats:sub>≥<jats:italic>a</jats:italic>}=1 for some <jats:italic>a</jats:italic>∈ℕ and all <jats:italic>n</jats:italic>≥0. We are interested in the asymptotic behavior of the law of the stopping time <jats:italic>T</jats:italic>=<jats:italic>T</jats:italic>(<jats:italic>a</jats:italic>)≔inf{<jats:italic>k</jats:italic>∈ℕ<jats:sub>0</jats:sub>: <jats:italic>M</jats:italic><jats:sub><jats:italic>k</jats:italic></jats:sub><<jats:italic>a</jats:italic>} under ℙ<jats:sub><jats:italic>n</jats:italic></jats:sub>≔ℙ (· | <jats:italic>M</jats:italic><jats:sub>0</jats:sub>=<jats:italic>n</jats:italic>) as <jats:italic>n</jats:italic>→∞. Assuming that the decrements of (<jats:italic>M</jats:italic><jats:sub><jats:italic>n</jats:italic></jats:sub>)<jats:sub><jats:italic>n</jats:italic>≥0</jats:sub> given <jats:italic>M</jats:italic><jats:sub>0</jats:sub>=<jats:italic>n</jats:italic> possess a kind of stationarity for large <jats:italic>n</jats:italic>, we derive sufficient conditions for the convergence in the minimal <jats:italic>L</jats:italic><jats:sup><jats:italic>p</jats:italic></jats:sup>-distance of ℙ<jats:sub><jats:italic>n</jats:italic></jats:sub>(<jats:italic>T</jats:italic>−<jats:italic>a</jats:italic><jats:sub>n</jats:sub>)∕<jats:italic>b</jats:italic><jats:italic>n</jats:italic>∈·) to some nondegenerate, proper law and give an explicit form of the constants <jats:italic>a</jats:italic><jats:sub>n</jats:sub> and <jats:italic>b</jats:italic><jats:sub><jats:italic>n</jats:italic></jats:sub>.</jats:p>