Published:
Springer Science and Business Media LLC, 2020
Published in:
The European Physical Journal C, 80 (2020) 3
Language:
English
DOI:
10.1140/epjc/s10052-020-7685-4
ISSN:
1434-6044;
1434-6052
Origination:
Footnote:
Description:
<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>Discretization effects of lattice QCD are described by Symanzik’s effective theory when the lattice spacing, <jats:italic>a</jats:italic>, is small. Asymptotic freedom predicts that the leading asymptotic behavior is <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\sim a^{n_{\mathrm{min}}}[{\bar{g}}^2(a^{-1})]^{\hat{\gamma }_1} \sim a^{n_{\mathrm{min}}}\left[ \frac{1}{-\log (a\Lambda )}\right] ^{\hat{\gamma }_1}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>∼</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>min</mml:mi></mml:msub></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mover><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>^</mml:mo></mml:mover><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msup><mml:mo>∼</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>min</mml:mi></mml:msub></mml:msup><mml:msup><mml:mfenced><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo>log</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:msub><mml:mover><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>^</mml:mo></mml:mover><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msup></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. For spectral quantities, <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${n_{\mathrm{min}}}=d$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>min</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is given in terms of the (lowest) canonical dimension, <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$d+4$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, of the operators in the local effective Lagrangian and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\hat{\gamma }_1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mover><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>^</mml:mo></mml:mover><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is proportional to the leading eigenvalue of their one-loop anomalous dimension matrix <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\gamma ^{(0)}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. We determine <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\gamma ^{(0)}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> for Yang–Mills theory (<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${n_{\mathrm{min}}}=2$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>min</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>) and discuss consequences in general and for perturbatively improved short distance observables. With the help of results from the literature, we also discuss the <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${n_{\mathrm{min}}}=1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>min</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> case of Wilson fermions with perturbative <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\mathrm{O}(a)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> improvement and the discretization effects specific to the flavor currents. In all cases known so far, the discretization effects are found to vanish faster than the naive <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\sim a^{n_{\mathrm{min}}}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>∼</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>min</mml:mi></mml:msub></mml:msup></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> behavior with rather small logarithmic corrections – in contrast to the two-dimensional O(3) sigma model.</jats:p>