Description:
Le continu cohésif. Un continuum est «d'une seule pièce », au sens où il ne peut être divisé en deux (ou plusieurs) parties non vides disjointes. Si la «partie » désigne un ouvert (ou un fermé) de l'espace, on est conduit au concept topologique classique de connexité. Ainsi un espace S est-il connexe s'il est impossible de le partitionner en deux sous-ensembles ouverts (ou fermés) non vides et disjoints -ou de façon équivalente, si, pour toute partition par deux ouverts (ou deux fermés) de S, l'un d'eux est vide. Tel est le cas, par exemple, de l'espace R des réels et de tous ses intervalles ouverts et fermés. Un tournant radical s'opère si l'on prend l'expression «d'une seule pièce » au sens litttéral, c'est-à-dire au sens de l'inséparabilité de l'espace en deux parties, ou sous-ensembles, quelconques. Un espace S satisfaisant une telle condition est dit cohésif ou indécomposable. En logique classique, en raison de la validité du tiers exclu, les espaces cohésifs se réduisent à des espaces vides ou à des singletons ; en revanche, la logique intuitioniste, non seulement, garantit l'existence d'espaces cohésifs non triviaux, mais, de plus, fait de tout espace connexe un espace cohésif. Dans cet article, nous présentons le substrat philosophique de l'indécomposabilité ainsi que les diverses modélisations de cette notion dans les mathématiques contemporaines.
It is characteristic of a continuum that it be "all of one piece", in the sense of being inseparable into two (or more) disjoint nonempty parts. By taking "part" to mean open (or closed) subset of the space, one obtains the usual topological concept of connectedness. Thus a space S is defined to be connected if it cannot be partitioned into two disjoint nonempty open (or closed) subsets -or equivalently, given any partition of S into two open (or closed) subsets, one of the members of the partition must be empty. This holds, for example, for the space R of real numbers and for all of its open or closed intervals. Now a truly radical condition results from taking the idea of being "all of one piece" literally, that is, if it is taken to mean inseparability into any disjoint nonempty parts, or subsets, whatsoever. A space S satisfying this condition is called cohesive or indecomposable. While the law of excluded middle of classical logic reduces indecomposable spaces to the trivial empty space and one-point spaces, the use of intuitionistic logic makes it possible not only for nontrivial cohesive spaces to exist, but for every connected space to be cohesive.In this paper I describe the philosophical background to cohesiveness as well as some of the ways in which the idea is modelled in contemporary mathematics.