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Beschreibung:
Frontmatter -- TABLE DES MATIÈRES -- Introduction -- Abréviations et notations -- I Révision de bases : calcul différentiel, algèbre linéaire et bilinéaire -- I.1 Algèbre linéaire et bilinéaire -- I.2. Calcul différentiel -- I.3. Fonctions convexes -- II Minimisation sans contraintes. Conditions de minimalité -- II.1. Conditions de minimalité du premier ordre -- II.2 Conditions de minimalité du second ordre -- III Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité -- III.1. Conditions de minimalité du premier ordre -- III.2. Cône tangent, cône normal à un ensemble -- III.3. Prise en compte de la convexité -- III.4. Conditions de minimalité du second ordre -- IV Mini-maximisation. Dualisation de problèmes de minimisation convexe -- IV.1. Points-selles (ou cols) ; problèmes de mini-maximisation -- IV.2. Points-selles de lagrangiens -- IV.3. Premiers pas dans la théorie de la dualité -- V Polyèdres convexes fermés. Optimisation à données affines (Programmation linéaire) -- V.1. Polyèdres convexes fermés -- V.2 Optimisation à données affines (Programmation linéaire) -- V.3 La dualité en programmation linéaire -- VI Ensembles et fonctions convexes. Projection sur un convexe fermé -- VI.1. Ensembles convexes -- VI.2 Projection sur un convexe fermé -- VI.3. Fonctions convexes -- VII Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées de Legendre-Fenchel -- VII.1. La transformation de Legendre-Fenchel -- VII.2 Le sous-différentiel d’une fonction -- VII.3 La convexification d’une fonction -- Sources -- Références générales -- Notice historique -- Index
L'auteur a fait sienne cette universelle maxime chinoise : « j'entends et j'oublie (cours oral) je vois et je retiens (étude du cours) je fais et je comprends » (exercices)… Ainsi, ce livre est un recueil d'exercices et problèmes corrigés, de difficulté graduée, accompagnés de commentaires sur l'utilisation du résultat obtenu, sur un prolongement possible et, occasionnellement, placés dans un contexte historique. Chaque chapitre débute par des rappels de définitions et résultats du Cours. Le cadre de travail est volontairement simple, l'auteur a voulu insister sur les idées et mécanismes de base davantage que sur des généralisations possibles ou des techniques particulières à telle ou telle situation. Les connaissances mathématiques requises pour tirer profit du recueil ont été maintenues minimales, celles normalement acquises à Bac+3 (ou Bac+2 suivant les cas). L'approche retenue pour avancer est celle d'une progression en spirale plutôt que linéaire au sens strict. Pour ce qui est de l'enseignement, les aspects de l'optimisation et analyse convexe traités dans cet ouvrage trouvent leur place dans les formations de niveau M1, parfois L3, (modules généralistes ou professionnalisés) et dans la formation mathématique des ingénieurs (en 2e année d'école, parfois en 1re année). La connaissance de ces aspects est un préalable à des formations plus en aval, en optimisation numérique par exemple. Détails: après un chapitre de révisions de base (analyse linéaire et bilinéaire, calcul différentiel), l'ouvrage aborde l'optimisation par les conditions d'optimalité (chap. 2 et 3), le rôle incontournable de la dualisation des problèmes (chap. 4) et le monde particulier de l'optimisation linéaire (chap.5). L'analyse convexe est traitée par l'initiation à la manipulation des concepts suivants : projection sur un convexe fermé (chap.6), le calcul sous différentiel et de transformées de Legendre-Fenchel (chap.7)