Vallentin, Frank
[Verfasser:in]
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Richter-Gebert, Jürgen
[Mitwirkende:r];
Richter-Gebert, Jürgen ;Theobald, Thorsten ;Gruber, Peter Manfred ;Bachoc, Christine
[Mitwirkende:r]
Sphere Covering, Lattices, and Tilings (in Low Dimensions) ; Kugelüberdeckungen, Gitter und Pflasterungen (in kleinen Dimensionen)
Anmerkungen:
Diese Datenquelle enthält auch Bestandsnachweise, die nicht zu einem Volltext führen.
Beschreibung:
The topic of this thesis is the geometry of low dimensional lattices. The main subjects are the classification of space tiling polytopes and the exploration of efficient coverings of space by equal overlapping spheres. A central tool for these studies is a reduction theory of positive definite quadratic form going back to G.F. Voronoi. We interpret this theory in the framework of secondary polytopes. The main results of the thesis are: the complete classification of parallelohedra in dimension 4, and the formulation of an algorithm which solves the lattice covering problem in any dimension with help of Voronoi's reduction theory and semidefinite optimization. This algorithm is not only of theoretical value. We used it to find a lattice covering in dimension 6 which is the best known at the moment. ; Diese Arbeit setzt sich mit der Geometrie von Gittern niedriger Dimension auseinander. Schwerpunkte sind dabei die Klassifikation von raumpflasternden Polytopen und die Auffindung von möglichst effizienten Überdeckungen des Raumes mittels einer Konfiguration von gleichgroßen sich gegenseitig durchdringenden Kugeln. Als zentrales Hilfsmittel erweist sich eine Reduktionstheorie für positiv definite quadratische Formen, die auf G.F. Voronoi zurückgeht und die im Rahmen der Theorie der Sekundärpolytope aufgearbeitet wird. Weitere Hauptergebnisse der Arbeit sind: eine neue Klassifikation der vierdimensionalen Paralleloeder, die Angabe eines Algorithmus, der mit Hilfe der Reduktionstheorie und semidefiniter Optimierung das Kugelüberdeckungsproblem lösen kann und die Bestimmung einer neuen Kugelüberdeckung in Dimension 6, die zur Zeit die Beste bekannte ist.