Anmerkungen:
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Beschreibung:
Sei G eine proendliche Gruppe, und sei e = e(G, j, (*)) ein zentrales Einbettungsproblem für G. Ein solches Einbettungsproblem e ist gegeben durch eine Gruppenerweiterung (*) 1 -> A -> E -> G -> 1 endlicher Gruppen mit abelschem Kern A, auf dem G trivial operiert, zusammen mit einem Epimorphismus j: G -> G; gesucht ist ein (surjektiver) Homomorphismus y: G -> E mit p o y = j, wobei p die Abbildung E -> G bezeichne. Ist K/k eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe G = G(K/k) und ist G = G(k/k) die absolute Galoisgruppe von k, so ist - galoistheoretisch interpretiert - die Existenz eines solchen surjektiven Homomorphismus y gleichbedeutend mit der Existenz einer galoisschen Erweiterung L/K/k derart, daß G(L/k) isomorph zu E ist. In dieser Arbeit wird für den Fall, daß G die absolute Galoisgruppe eines algebraischen Zahlkörpers k ist, ein Verfahren beschrieben, wie man unter gewissen Voraussetzungen im Falle der Lösbarkeit von e explizit einen Lösungskörper L konstruieren kann. Dabei betrachtet man das Einbettungsproblem zunächst über einem anderen geeigneten Grundkörper, dem sogenannten Brauerkörper F, welcher sich in kanonischer Weise e zuordnen läßt. Der Körper KF ist ein rationaler Funktionenkörper über K in m-1 Unbestimmten T1, ., Tm-1, wobei m von e abhängt, und hat über F eine zu G isomorphe Galoisgruppe. e erweist sich über F als lösbar. Man konstruiert sodann einen 'virtuellen' Lösungskörper LF/KF/F für e derart, daß G(LF/F) isomorph zu E ist. Die Lösbarkeit von e über dem ursprünglichen Grundkörper k selbst werde durch eine rationale Varietät beschrieben: Findet man also mittels diophantischer Methoden einen rationalen Punkt auf dieser Varietät, so ist e über k lösbar. Gleichzeitig erhält man durch diesen rationalen Punkt eine Spezialisierung für die Unbestimmten T1, ., Tm-1, die, wenn man sie in LF einsetzt, einen expliziten Lösungskörper L/K/k für e liefert. Beispiele, u.a. ein Gegenbeispiel zum Hasseschen Normensatz ; Let G be a profinite group, and let e = e(G, j, (*)) be ...