Anmerkungen:
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Beschreibung:
In den Naturwissenschaften müssen immer wieder große vollbesetzte Matrizen behandelt werden. Die Approximation von Integraloperatoren mit einer Standard-Galerkin-Diskretisierung führt typischerweise genau auf solche Matrizen. Um die quadratische Komplexität zu vermeiden, die es braucht um eine vollbesetzte Matrix zu berechnen und zu speichern, sind bereits einige Ansätze eingeführt worden, inklusive hierarchischer Matrizen. Dieses kann erreicht werden, indem die Matrix partitioniert und in einer hierarchischen Repräsentation gespeichert wird, in der gewisse Matrixblöcke durch Niedrigrangmatrizen approximiert werden. Das analytische Herangehen besteht dabei in einer Approximation der Kernfunktion durch eine separierte Funktion, die dann auf eine Niedrigrangmatrix führt. Es gibt auch einen algebraischen Ansatz, der sich bestimmter Matrixeinträge bedient, um die Niedrigrangapproximation zu berechnen. In dieser Arbeit stelle ich eine neue Methode vor, um Niedrigrangmatrizen für hierarchischer Matrizen zu konstruieren. Ich bediene mich dabei des Beispiels von Integraloperatoren, um unsere Algorithmen einzuführen. Diese neue Methode baut eine entartete Kernfunktion auf, indem sie Quadratur auf die durch die Green'sche Formel dargestellte Kernfunktion anwendet. Dieses führt zu einem Algorithmus, für den exponentielle Konvergenz bewiesen wird. Obwohl die theoretischen Betrachtungen vielversprechend aussehen, kann der Algorithmus sich im dreidimensionalen Fall nicht gegenüber anderen gängigen Verfahren behaupten aufgrund der hohen lokalen Ränge, die dabei produziert werden. Das Verfahren kann aber noch weiter verbessert werden, indem diese analytische kernbasierte Methode mit der Kreuzapproximation kombiniert wird, um die hohen lokalen Ränge zu reduzieren. Mit einem zusätzlichen Interpolationsansatz ergibt sich ein sehr effizienter und zu gängigen Verfahren konkurrenzfähiger Algorithmus. ; In the natural sciences there are often large densely populated matrices to be handled. Approximating integral operators by a ...