Titel:
Contributions à l'étude des arbres de Lévy et des arbres inhomogènes continus ; A study on the Lévy trees and the inhomogeneous continuum random trees
Anmerkungen:
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Beschreibung:
Nous considérons deux modèles d’arbres aléatoires continus, à savoir les arbres de Lévy et les arbres inhomogènes. Les arbres de Lévy, introduits par Le Gall et Le Jan (1998) comme extension de l’arbre brownien d’Aldous (1991), décrivent les structures généalogiques des processus de branchement. Nous donnons une description de la loi d’un arbre de Lévy conditionné par son diamètre, ainsi qu’une décomposition de l’arbre le long de ce diamètre, qui est décrite à l’aide d’une mesure ponctuelle de Poisson. Dans le cas particulier d’un mécanisme de branchement stable, nous caractérisons la loi jointe du diamètre et de la hauteur d’un arbre de Lévy conditionné par sa masse totale. Dans le cas brownien nous obtenons une formule explicite de cette loi jointe, ce qui permet de retrouver par un calcul direct sur l’excursion brownienne, un résultat de Szekeres (1983) et Aldous (1991) concernant la loi du diamètre. Dans les cas stables, nous obtenons également des développements asymptotiques pour les lois de la hauteur et du diamètre. Les arbres inhomogènes sont introduits par Aldous et Pitman (2000), Camarri et Pitman (2000). Ce sont des généralisations de l’arbre brownien d’Aldous. Pour un arbre inhomogène, nous étudions une fragmentation de cet arbre qui généralise celle introduite par Aldous et Pitman pour l’arbre brownien. Nous construisons un arbre généalogique de cette fragmentation. En utilisant des arguments de convergence, nous montrons qu’il y a une dualité́ en loi entre l’arbre initial et l’arbre généalogique de fragmentation. Pour l’arbre brownien, nous trouvons aussi une façon de reconstruire l’arbre initial à partir de l’arbre généalogique. ; We consider two models of random continuous trees: Lévy trees and inhomogeneous continuum random trees. Lévy trees are scaling limits of Galton-Watson trees. They describe the genealogical structures of continuous-state branching processes. The class of Lévy trees is introduced by Le Gall and Le Jan (1998) as an extension of Aldous’ notion of Brownian Continuum ...