Cortez, Manuel Fernando
[VerfasserIn]
;
Lyon 1
[MitwirkendeR];
Brandolese, Lorenzo
[MitwirkendeR]
Explosion en temps fini de solutions d’équations dispersives ou dissipatives non-linéaires ; Finite time blowup of solutions of dispersive or dissipative nonlinear equations
Titel:
Explosion en temps fini de solutions d’équations dispersives ou dissipatives non-linéaires ; Finite time blowup of solutions of dispersive or dissipative nonlinear equations
Anmerkungen:
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Beschreibung:
Le sujet de cette thèse est la formation de singularités pour certaines équations d'évolution dispersives et/ou dissipatives non-linéaires. Notre travail est axé sur les problèmes de Cauchy, généralement avec des conditions aux limites périodiques ou dans tout ℝⁿ. Notre objectif est de fournir les conditions nécessaires ou suffisantes (ou les deux) sur les données initiales u₀(x), garantissant que la durée de vie T* de la solution résultant de u₀ est finie ou non. Nous étudions deux types d'équations : une équation parabolique non linéaires et une classe d'équations d'ondes dispersives. La première équation étudiée est un modèle 1D de propagation d’ondes non-linéaires, qui apparaît par exemple dans l'étude des vagues dans un canal ou des déformations d’une barre hyper-élastique. L'une des contributions décisives de notre travail sera celle-ci : la seule solution forte globale périodique du problème de Cauchy de la barre hyper-élastique qui s’annule en au moins un point est la solution identiquement nulle. Nous établissons également l'analogue de ce résultat dans le cas des solutions non-périodiques définies sur toute la droite réelle, avec limite nulle à l'infini. Notre analyse repose sur l'application de nouveaux critères d'explosion "locaux en espace” (local-in-space blowup criteria). Une deuxième équation étudiée est une généralisation de l'équation de la barre hyperélastique qui a été proposée par H. Holden et X. Raynaud. Cette généralisation peut couvrir de nombreux autres types d'équations avec des propriétés mathématiques intéressantes. Nous établirons alors des critères d'explosion locaux en espace pour les solutions de ce modèle. Plus précisément, il s'agira de critères qui ne font intervenir que les propriétés de la condition initiale u₀ au voisinage d'un seul point. Ils simplifient et étendent de précédents critères d'explosion pour cette équation. Ensuite, nous nous sommes intéressés à une famille d'équations connue dans la littérature sous le nom b-family equations. L'un des cas les plus notables de ...