Gunawan, Albert
[VerfasserIn]
;
Bordeaux
[MitwirkendeR];
Universiteit Leiden (Leyde, Pays-Bas)
[MitwirkendeR];
Edixhoven, Bas
[MitwirkendeR];
Liu, Qing
[MitwirkendeR]
Gauss's theorem on sums of 3 squares sheaves, and Gauss composition ; Le théorème de Gauss sur les sommes de 3 carrés, de faisceaux, et composition de Gauss
Titel:
Gauss's theorem on sums of 3 squares sheaves, and Gauss composition ; Le théorème de Gauss sur les sommes de 3 carrés, de faisceaux, et composition de Gauss
Anmerkungen:
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Beschreibung:
Le théorème de Gauss sur les sommes de 3 carrés relie le nombre de points entiers primitifs sur la sphère de rayon la racine carrée de n au nombre de classes d'un ordre quadratique imaginaire. En 2011, Edixhoven a esquissée une preuve du théorème de Gauss en utilisant une approche de la géométrie arithmétique. Il a utilisé l'action du groupe orthogonal spécial sur la sphère et a donné une bijection entre l'ensemble des SO3(Z)-orbites de tels points, si non vide, avec l'ensemble des classes d'isomorphisme de torseurs sous le stabilisateur. Ce dernier ensemble est un groupe, isomorphe au groupe des classes d'isomorphisme de modules projectifs de rang 1 sur l'anneau Z[1/2, √- n], ce qui donne une structure d'espace affine sur l'ensemble des SO3(Z)-orbites sur la sphère. Au chapitre 3 de cette thèse, nous donnons une démonstration complète du théorème de Gauss suivant les travaux d'Edixhoven. Nous donnons aussi une nouvelle preuve du théorème de Legendre sur l'existence d'une solution entière primitive de l'équation x2 + y2 + z2 = n en utilisant la théorie des faisceaux. Nous montrons au chapitre 4 comment obtenir explicitement l'action, donnée par la méthode des faisceaux, du groupe des classes sur l'ensemble des SO3(Z)-orbites sur la sphère en termes de SO3(Q). ; Gauss's theorem on sums of 3 squares relates the number of primitive integer points on the sphere of radius the square root of n with the class number of some quadratic imaginary order. In 2011, Edixhoven sketched a different proof of Gauss's theorem by using an approach from arithmetic geometry. He used the action of the special orthogonal group on the sphere and gave a bijection between the set of SO3(Z)-orbits of such points, if non-empty, with the set of isomorphism classes of torsors under the stabilizer group. This last set is a group, isomorphic to the group of isomorphism classes of projective rank one modules over the ring Z[1/2, √- n]. This gives an affine space structure on the set of SO3(Z)-orbits on the sphere. In Chapter 3 we give a complete ...