Anmerkungen:
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Beschreibung:
Ce travail porte sur de nouvelles explosions de cycles (orbites périodiques), l'étude de leur structure par l'analyse qualitative, leur mise en évidence par simulation numérique (Auto, Xpp) et la discussion de leur pertinence dans des modèles mathématiques dans les neurosciences. De telles explosions se produisent dans les systèmes dynamiques lents-rapides. La plupart des neurones sont excitables, dès 1940, Hodgkin identifia trois classes fondamentales d'axones excitables distinguées par leurs réponses à un courant injecté d'amplitude variable. A l'aide de la fonction de Lambert, nous étudions la transition entre les types I et II par des explosions de cycle incomplètes, initiées par une bifurcation de Hopf singulière et qui se terminent dans une bifurcation homocline dans des systèmes une variable rapide/une variable lente. Vient ensuite une étude poussée du système de Hindmarsh-Rose. Il s'agit d'un système deux variables rapides/une variable lente qui produit des oscillations en salves (ou bursting). Nous généralisons la notion d'ensembles candidats-limites-périodiques (clp) aux systèmes tridimensionnels, il s'agit des ensembles invariants du système à la limite singulière. A l'aide de ces derniers, nous obtenons une description très fine de la déformation du cycle limite jusqu'à l'addition d'un nouveau spike au burst. Nous finissons par une étude de la minimalité du modèle de F. Clément et J.-P. Françoise. Ce dernier est un système 4D qui modélise l¿activité des neurones à GnRH. Nous étudions un système une variable rapide/deux variables lentes qui reproduit certaines des caractéristiques du modèle 4D, notamment des Mixed-Modes oscillations. ; This thesis is focussed on the analysis of novel explosions of limit cycles (periodic orbits). We provide a study of their structure by qualitative analysis, exhibit evidences of their existence by numerical simulations (Auto, Xpp) and propose a discussion of their relevance in mathematical modeling for neurosciences. Such explosions occur in the slow-fast dynamical ...