Al Gerbi, Anis
[VerfasserIn]
;
Paris Est
[MitwirkendeR];
Jourdain, Benjamin
[MitwirkendeR];
Clément, Emmanuelle
[MitwirkendeR]
Ninomiya-Victoir scheme : strong convergence, asymptotics for the normalized error and multilevel Monte Carlo methods ; Schéma de Ninomiya Victoir : convergence forte, asymptotiques pour l'erreur renomalisée et méthodes de Monte Carlo multi-pas
Titel:
Ninomiya-Victoir scheme : strong convergence, asymptotics for the normalized error and multilevel Monte Carlo methods ; Schéma de Ninomiya Victoir : convergence forte, asymptotiques pour l'erreur renomalisée et méthodes de Monte Carlo multi-pas
Anmerkungen:
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Beschreibung:
Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés de convergence forte du schéma de Ninomiya et Victoir. Les auteurs de ce schéma proposent d'approcher la solution d'une équation différentielle stochastique (EDS), notée X, en résolvant d+1 équations différentielles ordinaires (EDOs) sur chaque pas de temps, où d est la dimension du mouvement brownien. Le but de cette étude est d'analyser l'utilisation de ce schéma dans une méthode de Monte-Carlo multi-pas. En effet, la complexité optimale de cette méthode est dirigée par l'ordre de convergence vers 0 de la variance entre les schémas utilisés sur la grille grossière et sur la grille fine. Cet ordre de convergence est lui-même lié à l'ordre de convergence fort entre les deux schémas. Nous montrons alors dans le chapitre 2, que l'ordre fort du schéma de Ninomiya-Victoir, noté X^{NV,η} et de pas de temps T/N, est 1/2. Récemment, Giles et Szpruch ont proposé un estimateur Monte-Carlo multi-pas réalisant une complexité O(ε⁻²) à l'aide d'un schéma de Milstein modifié. Dans le même esprit, nous proposons un schéma de Ninomiya-Victoir modifié qui peut-être couplé à l'ordre fort 1 avec le schéma de Giles et Szpruch au dernier niveau d'une méthode de Monte-Carlo multi-pas. Cette idée est inspirée de Debrabant et Rossler. Ces auteurs suggèrent d'utiliser un schéma d'ordre faible élevé au niveau de discrétisation le plus fin. Puisque le nombre optimal de niveaux de discrétisation d'une méthode de Monte-Carlo multi-pas est dirigé par l'erreur faible du schéma utilisé sur la grille fine du dernier niveau de discrétisation, cette technique permet d'accélérer la convergence de la méthode Monte-Carlo multi-pas en obtenant une approximation d'ordre faible élevé. L'utilisation du couplage à l'ordre 1 avec le schéma de Giles-Szpruch nous permet ainsi de garder un estimateur Monte-Carlo multi-pas réalisant une complexité optimale O(ε⁻²) tout en profitant de l'erreur faible d'ordre 2 du schéma de Ninomiya-Victoir. Dans le troisième chapitre, nous nous sommes intéressés à l'erreur ...