Guerand, Jessica
[VerfasserIn]
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Paris Sciences et Lettres (ComUE)
[MitwirkendeR];
Imbert, Cyril
[MitwirkendeR]
Équations de Hamilton-Jacobi discontinues et régularité parabolique à la De Giorgi ; Discontinuous Hamilton-Jacobi equations and parabolic regularity à la De Giorgi
Titel:
Équations de Hamilton-Jacobi discontinues et régularité parabolique à la De Giorgi ; Discontinuous Hamilton-Jacobi equations and parabolic regularity à la De Giorgi
Anmerkungen:
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Beschreibung:
Cette thèse est constituée de deux parties. Une première partie est consacrée à l’étude des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ces équations apparaissent en contrôle optimal et permettent de modéliser des problèmes de trafic routier, de supraconductivité et de mouvements d’interface. Le premier chapitre de la thèse présente un résultat d’équivalence de conditions au bord de type contraintes d’état. On obtient l’équivalence de trois formulations de ces conditions au bord. Ceci permet notamment de déduire que les résultats d’existence et d’unicité valables pour l’une des trois formulations sont valables pour les trois. Le second chapitre porte principalement sur un résultat d’équivalence de conditions au bord de type dynamique ; il est complété par un résultat d’unicité pour ce problème. En considérant la relation «avoir les mêmes solutions», on peut regrouper les conditions aux limites (vérifiées en un sens faible) en classe d’équivalence. Nous montrons que dans chaque classe il y a une unique condition vérifiée en un sens fort. Le troisième chapitre est consacrée à l’étude d’un schéma monotone aux différences finies pour une équation de Hamilton-Jacobi posée sur une jonction. Une jonction est un réseau formé d’un seul noeud et d’un nombre fini d’arrêtes infinies. La convergence du schéma vers l’unique solution a été montrée par Costesèque, Lebacque, Monneau dans le cas d’une condition de jonction de type «flux limité minimal». Nous présenterons un résultat de convergence pour une condition de jonction générale, ainsi qu’une estimation d’erreur dans le cas d’une condition de jonction de type «flux limité» (pas forcément minimal). Une seconde partie porte sur la régularité höldérienne pour une large classe d’équations paraboliques à coefficients peu réguliers par la méthode introduite par De Giorgi en 1957. Le quatrième chapitre contient un résultat quantitatif d’une des deux grandes étapes de la méthode de De Giorgi : le lemme des valeurs intermédiaires. Ce lemme permet de quantifier (en mesure) le ...