Processus de diffusion sur l’espace de Wasserstein : modèles coalescents, propriétés de régularisation et équations de McKean-Vlasov ; Diffusive processes on the Wasserstein space : coalescing models, regularization properties and McKean-Vlasov equations
Titel:
Processus de diffusion sur l’espace de Wasserstein : modèles coalescents, propriétés de régularisation et équations de McKean-Vlasov ; Diffusive processes on the Wasserstein space : coalescing models, regularization properties and McKean-Vlasov equations
Anmerkungen:
Diese Datenquelle enthält auch Bestandsnachweise, die nicht zu einem Volltext führen.
Beschreibung:
La thèse vise à étudier une classe de processus stochastiques à valeurs dans l’espace des mesures de probabilité sur la droite réelle, appelé espace de Wasserstein lorsqu'il est muni de la métrique de Wasserstein W2. Ce travail aborde principalement les questions suivantes : comment construire effectivement des processus stochastiques vérifiant des propriétes diffusives à valeurs dans un espace de dimension infinie ? existe-t-il une forme d’unicité, forte ou faible, satisfaite par certains processus ainsi construits ? peut-on établir des propriétés régularisantes de ces diffusions, en particulier le forçage stochastique d’équations de McKean-Vlasov ou des formules d’intégration par parties de BismutElworthy ? Le chapitre I propose une construction alternative, par approximations lisses, du système de particules défini par Konarovskyi et von Renesse, et appelé ci-après modèle coalescent. Le modèle coalescent est un processus aléatoire à valeurs dans l'espace de Wasserstein, satisfaisant une formule de type Itô sur cet espace et dont les déviations en temps petit sont régies par la métrique de Wasserstein, par analogie avec les déviations en temps court du mouvement brownien standard gouvernées par la métrique euclidienne. L’approximation régulière construite dans cette thèse partage ces propriétés diffusives et est obtenue par lissage des coefficients de l’équation différentielle stochastique satisfaite par le modèle coalescent. Cette variante présente l’avantage principal de satisfaire des résultats d’unicité demeurant ouverts pour le modèle coalescent. De plus, à de petites modifications de sa structure près, cette diffusion lissée possède des propriétés régularisantes : c'est précisément l’objet de l’étude des chapitres II à IV. Dans le chapitre II, on perturbe une équation de McKean-Vlasov mal posée par une de ces versions lissées du modèle coalescent, afin d’en restaurer l’unicité. Le lien est fait avec les résultats récents (Jourdain, Mishura-Veretennikov, Chaudru de Raynal-Frikha, Lacker, RöcknerZhang) où ...