Contrôlabilité de quelques équations aux dérivées partielles paraboliques peu diffusives ; Controllability of some parabolic partial differential equations with low diffusion
Titel:
Contrôlabilité de quelques équations aux dérivées partielles paraboliques peu diffusives ; Controllability of some parabolic partial differential equations with low diffusion
Anmerkungen:
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Beschreibung:
La théorie du contrôle est la branche des mathématiques qui étudie dans quelle mesure on peut modifier l’état d’un système en fonction des propriétés intrinsèques dudit système et de la façon dont on peut agir dessus. Par exemple, on peut se demander si on peut amener la température d’un solide à une température constante en temps fini, en chauffant et refroidissant seulement une partie du solide. Ce problème, appelé « contrôle à zéro de l’équation de la chaleur », est résolu depuis 1995. Mais si on étudie les équations paraboliques dégénérées, qui ressemblent à l’équation de la chaleur mais qui ont une diffusion plus faible, on ne sait traiter que quelques exemples particuliers, et la situation est plus compliquée : pour l’équation de la chaleur, la contrôlabilité à zéro est toujours vraie, même en temps arbitrairement petit ; mais pour certaines équations paraboliques dégénérées, il peut exister un temps minimal en dessous duquel la contrôlabilité à zéro n’est pas vraie. Nous étudions quelques équations paraboliques dégénérées, notamment l’équation de Grushin et des équations de type Kolmogorov, et complétons partiellement les résultats de contrôle dessus. Nous précisons en particulier la relation entre le domaine de contrôle et le temps minimal de contrôle à zéro. Cette étude se fait par une analyse spectrale fine, qui permet de ramener l’étude des équations de Grushin et de type Kolmogorov a l’étude d’équation de la chaleur fractionnaire. Nous étudions donc également les équations de la chaleur fractionnaire, grâce à des techniques et fonctions holomorphes et d’optique géométrique. Nous étudions également des systèmes transport-chaleur, et montrons qu’il existe un temps minimal de contrôle à zéro, et on généralise (presque) les résultats obtenus sur plusieurs exemples particuliers de systèmes transport-chaleur. Cette étude est basée sur une analyse spectrale qui permet de séparer les systèmes transport-chaleur en un système de transport et un système d’équations de la chaleur faiblement couplés. ; Control ...