Martel, Sofiane
[VerfasserIn]
;
Paris Est
[MitwirkendeR];
Boyaval, Sébastien
[MitwirkendeR]
Theoretical and numerical analysis of invariant measures of viscous stochastic scalar conservation laws ; Analyse théorique et numérique de mesures invariantes de lois de conservation scalaires stochastiques visqueuses
Titel:
Theoretical and numerical analysis of invariant measures of viscous stochastic scalar conservation laws ; Analyse théorique et numérique de mesures invariantes de lois de conservation scalaires stochastiques visqueuses
Anmerkungen:
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Beschreibung:
Cette thèse se consacre à une analyse théorique puis numérique d'une certaine classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) : les lois de conservation scalaires avec viscosité et avec un forçage aléatoire de type additif et bruit blanc en temps. Un exemple typique est l'équation de Burgers stochastique, motivée par la théorie de la turbulence. On s'intéresse particulièrement au comportement en temps long des solutions de ces équations à travers une étude des mesures invariantes. La partie théorique de la thèse constitue le chapitre 2. Dans ce chapitre, on prouve l'existence et l'unicité d'une solution au sens fort. Pour cela, des estimations sur les normes de Sobolev jusqu'à l'ordre 2 sont établies. Dans la seconde partie du chapitre 2, on montre que la solution de l'EDPS admet une unique mesure invariante. On se propose dans le chapitre 3 d'approcher numériquement cette mesure invariante. À cette fin, on introduit un schéma numérique dont la discrétisation spatiale est de type Volumes Finis et dont la discrétisation temporelle est une méthode d'Euler semi-implicite. Il est montré que ce type de schéma respecte certaines propriétés fondamentales de l'EDPS telles que la dissipation d'énergie et la contraction L1. Ces propriétés assurent l'existence et l'unicité d'une mesure invariante pour le schéma. À l'aide d'un certain nombre d'estimations de régularité, on montre ensuite que cette mesure invariante discrète converge, lorsque le pas de temps et le pas d'espace tendent vers zéro, vers l'unique mesure invariante pour l'EDPS au sens de la distance de Wasserstein d'ordre 2. Enfin, des expériences numériques sont effectuées sur l'équation de Burgers pour illustrer cette convergence ainsi que des propriétés à petites échelles spatiale relatives à la turbulence ; This devoted to the theoretical and numerical analysis of a certain class of stochastic partial differential equations (SPDEs), namely scalar conservation laws with viscosity and with a stochastic forcing which is an additive white noise in ...