Titel:
Un nouveau regard sur les interfaces dans les modèles de percolation et d'Ising ; A new look at the interfaces in the percolation and Ising models
Anmerkungen:
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Beschreibung:
Les interfaces dans les modèles de percolation et d'Ising jouent un rôle crucial dans la compréhension de ces modèles et sont au coeur de plusieurs problématiques : la construction de Wulff, le mouvement par courbure moyenne, la théorie du SLE. Dans son célèbre article de 1972, Roland Dobrushin a montré que le modèle d'Ising en dimension d ≥ 3 admet une mesure de Gibbs qui n'est pas invariante par translation à l'aide d'une étude sur l'interface entre le haut et le bas d'une boîte droite de taille finie. Le cas d'une boîte penchée est très différent et plus difficile à analyser. Nous proposons dans cette thèse une nouvelle définition de l'interface. Cette définition est construite dans le modèle de percolation Bernoulli à l'aide d'un couplage dynamique de deux configurations. Nous montrons que cette interface est localisée autour des arêtes pivot à une distance d'ordre de ln²n dans une boîte de taille n. Notre méthode de preuve utilise les chemins espace-temps, qui permettent de contrôler la vitesse de déplacement de l'interface. Nous montrons aussi que la vitesse des arêtes pivot est au plus de l’ordre de ln n. Nous étendons ces résultats au modèle de FK-percolation, nous montrons aussi la localisation de l'interface à distance d'ordre ln²n autour des arêtes pivot. En utilisant une modification du couplage classique d'Edwards-Sokal, nous obtenons des résultats analogues sur la localisation de l'interface dans le modèle d'Ising. ; The interfaces in the percolation and Ising models play an important role in the understanding of these models and are at the heart of several problematics: the Wulff construction, the mean curvature motion and the SLE theory. In his famous 1972 paper, Roland Dobrushin showed that the Ising model in dimensions d ≥ 3 has a Gibbs measure which is not invariant by translation by studying the interface between the top and the bottom of a straight finite box. The case of a tilted box is very different and more difficult to analyse. In this thesis, we propose a new definition of the ...