Anmerkungen:
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Beschreibung:
Les groupes de tresses sont des objets omniprésents dans plusieurs branches des mathématiques modernes : topologie, théorie géométrique des groupes, combinatoire, théorie des nombres. Comprendre les différentes facettes de ces groupes est un thème récurrent dans la littérature qui reste plus que jamais d'actualité. Dans les années 80 et 90, Deligne-Mostow puis Thurston, par deux approches différentes, ont découvert des représentations de Bn, le groupe de tresses à n brins, d'image dans U(n − 2, 1), dont certaines ont pour image des sous-groupes discrets de co-volume fini (de tels sous-groupes sont appelés réseaux) de U(n − 2, 1). Pendant longtemps, ces sous-groupes ont été les seuls exemples connus de réseaux non-arithmétiques de U(n − 2, 1). Dans un article plus récent, en utilisant des revêtements cycliques ramifiés au-dessus de n + 1 points de la sphère, McMullen construit des familles de représentations du groupe de tresses Bn dans des groupes U(r, s) avec différentes signatures (r, s). Il retrouve ainsi certains réseaux de Deligne-Mostow comme cas particuliers. Nous avons généralisé les constructions de McMullen, et obtenu de nouvelles représentations de groupes de tresses pures dans des groupes unitaires U(r, s). Pour cela, nous avons utilisé une surface de Riemann compacte, notée X, obtenue à partir de l'équation y^d =(x − b1)^{k1}* . *(x - bn)^{kn} , où n, d ∈ N∗, b1, . . . , bn ∈ C sont deux à deux distincts, et k1, . . . , kn ∈ N∗. Le cas de McMullen est celui pour lequel ki = 1 pour tout i ∈ {1, . . . , n}. Cette surface X est un revêtement cyclique au dessus de la sphère de Riemann, ramifié au dessus des points bi et éventuellement de l'infini.Il existe un morphisme du groupe de tresses pures à n brins, noté PBn, à valeurs dans Mod(X), qui associe à chaque tresse pure la classe d'homotopie de l'un de ses relevés, qui est un homéomorphisme de X commutant avec l'action de Z/dZ.L'action de Z/dZ sur la cohomologie de X se décompose en sous-espaces proprespour des valeurs propres qui sont des racines ...