Anmerkungen:
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Beschreibung:
Ce manuscrit traite de l'étude de méthodes de régression à noyau construites spécifiquement pour résoudre des problèmes contrôlés par des équations aux dérivées partielles (EDPs). En particulier, la question du choix d'un noyau respectant les propriétés d'une EDP donnée est étudiée, notamment du point de vue du processus aléatoire sous-jacent au noyau utilisé. Un chapitre introductif est dédié à une description pédagogique de notions importantes issues de l'inférence bayésienne, de la théorie des processus aléatoires et de la théorie des EDPs. Le chapitre 2 donne une caractérisation nécessaire et suffisante pour que les trajectoires d'un processus aléatoire général d'ordre deux vérifient une EDP linéaire homogène donnée, au sens des distributions. Etant donnés un entier m et un exposant p fini et strictement plus grand que 1, le chapitre 3 décrit plusieurs caractérisations nécessaires et suffisantes pour que les trajectoires d'un processus gaussien centré possèdent la régularité Sobolev associée au couple (m,p), presque sûrement. Les caractérisations de ces deux chapitres sont formulées uniquement en terme des deux premiers moments du processus; certaines d'entre elles sont relativement faciles à appliquer en pratique. Les cadres théoriques de ces deux chapitres sont choisis de façon à être les plus généraux possibles, en évitant toute hypothèse de continuité non nécessaire.Le chapitre 4 décrit quelques fonctions de covariance adaptées à l'équation des ondes (au sens du chapitre 2) en trois dimensions. Elles correspondent à des données initiales stationnaires ou à symétrie radiale. Ces fonctions sont ensuite utilisées pour estimer les paramètres physiques de l'équation ainsi que ses conditions initiales, étant donné une base de données d'observations de la solution issues de quelques capteur ponctuelles. Le chapitre 5 décrit comment des schémas numériques de type différences finies pour l'équation d'advection peuvent être obtenus à l'aide d'une régression à noyau basée sur une fonction de covariance adaptée à ...