Anmerkungen:
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Beschreibung:
Dans cette thèse, nous étudions le modèle de Keller-Segel : à la fois l’EDP et le système de particules. Ce modèle a attiré beaucoup d’attention à cause du phénomène de compétition étroite entre diffusion et concentration qu’il modélise. Nous nous intéressons plus particulièrement au comportement de ces modèles autour de l’instant de formation d’une masse de Dirac (ou de l’instant d’apparition d’un cluster dont la masse représente une proportion positive du nombre total de particules). Ce travail est divisé en cinq parties. Dans une première partie, nous étudions finement le comportement des collisions pour le système de particules. Plus précisément ce système de particules consiste en N mouvements browniens dans le plan intéragissant en champ moyen via une intéraction de type Coulomb en θ/(N r) où r est la distance entre deux particules et θ un paramètre positif tel que N > 3θ. Selon les valeurs de θ et N il y a deux scénarios possibles, en voici un : le système de particules explose en temps fini en faisant émerger un cluster de k 0 particules, où k 0 est un entier déterministe dépendant de N et θ. Juste avant l’explosion, il y a une infinité de collisions impliquant k 0 − 1 particules parmi les k 0 impliquées dans le cluster de l’explosion. Puis avant chaque collision entre k 0 − 1 particules, il y a une infinité de collisions entre k 0 − 2 particules parmi les k 0 − 1 impliquées dans la collision à k 0 − 1 particules. De plus, avant chaque collision entre k 0 − 2 particules, il y a une infinité de collision de pair de particules impliquées dans la collision entre k 0 − 2 particules. Enfin, il n’y a aucune collision entre exactement k particules pour k ∈ {3, . . . , k 0 − 2}. Dans une deuxième partie, nous nous intéresserons à une preuve simplifiée de non explosion, i.e. d’existence globale, pour l’EDP de Keller-Segel, pour toute donnée initiale measure f 0 tel que f 0 (R 2 ) < 8π. La preuve repose sur un calcul de moment à deux particules. Dans une troisième partie, nous prouverons la convergence de la ...